Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
О. Достатні умови існування екстремумуСпочатку введемо деякі скорочені позначення. Нехай Mо(xо,yо) - критична точка функції z=f(x,y), в якій , . Припустимо, що існують неперервні частинні похідні другого і третього порядків і позначимо Т еорема 11.2. Якщо для функції z=f(x,y) виконуються необхідні умови екстремуму в точці , тобто , , то в цій точці функція: 1) має екстремум при , причому максимум, якщо А<0, і мінімум, якщо А>0; 2) немає екстремуму за умови ; 3) при екстремум може бути і може не бути, в цьому випадку потрібні додаткові дослідження. Доведення. Скористаємось формулою Тейлора (див.8, формулу (8.3)) при n=3. Перенесемо доданок в ліву частину рівності і позначимо - приріст функції. Якщо в точці максимум, то , якщо ні – мінімум, то . Згідно умови теореми 2 . Тому (11.2) Можна довести, що доданок є нескінченно малою величиною вищого порядку в порівнянні з доданком при , . Тому головною частиною приросту функції у формі (11.2) є другий диференціал, і його знаком визначається знак приросту . За формулою другого диференціалу (див.формулу (7.2)) маємо , а згідно зроблених позначень Таким чином, знак виразу залежить від співвідношення двох змінних величин і (разом з їхніми знаками). Щоб звести до однієї змінної, винесемо за дужки (при ) і залишимо , тобто . Отже задача зводиться до знаку дослідження квадратного тричлена . Відомо, що квадратний тричлен зберігає знак, якщо його дискримінант від'ємний: Причому, якщо , то , а значить Якщо ж , то За умови квадратний тричлен може змінювати знак, а отже може бути > 0 і <0, тоді екстремума немає. Приклад. Дослідити на екстремум функцію . Розв'язання. Для знаходження критичних точок скористаємось теоремою 11.1, згідно з якою отримуємо систему рівнянь: Розв'яжемо цю систему: Маємо і дві критичні точки. Знайдемо тепер похідні другого порядку: Тоді в точці маємо: > отже екстремум в т. відсутній. В точці маємо: < екстремум існує і поскільки > то це мінімум,
|