Геометрическая интерпретация скалярного произведения

Скалярное произведение (a,b) векторов a и b равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами.

То есть (a,b) =| a | · | b | cos ∠(a, b),

где ∠(a, b) есть угол между векторами a и b:

Проекцией вектора b на вектор a, , будем называть проекцию вектора b на любую ось, параллельную вектору a и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора a.

2,4

2,5

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Теорема 4.10. Векторное произведение линейно по каждому из сомножителей.
Доказательство. В силу теоремы 4.6 достаточно показать, что для любых векторов a, b, c и любого числа α ∈ R имеют место равенства [a +b, c] = [a, c] + [b, c] и [αa, b] = α[a, b]. Пусть d = [a +b, c] - [a, c] - [b, c]. Тогда (d, d) = (a + b, c, d) - (a, c, d) - (b, c, d). Из линейности смешанного произведения следует, что (d, d) = (a, c, d) + (b, c, d)- (a, c, d) - (b, c, d) = 0. Это доказывает первое из требуемых равенств. Второе равенство доказывается аналогично. Теорема доказана.

Теорема 4.6. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. [a, b] = -[b, a], ∀ a, b.
Доказательство.Утверждение теоремы очевидно, если a и b коллиниарны. Пусть a и b не коллиниарны, тогда [a, b] ≠ 0, [b, a] ≠ 0, при этом |[a, b]| = |[b, a]| = S_ab и [a, b], [b, a] перпендикулярны плоскости π (a, b). Значит, либо [a, b] = [b, a], либо [a, b] = - [b, a]. Но вектор [b, a] ≠ [a, b], так как тройка векторов b, a, [b, a] − правая (по определению векторного произведения) и, следовательно, тройка a, b, [b, a] − левая. Теорема доказана.

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) ;

2) .

Доказательство предложения 10.28. Соотношения и следуют из того, что abc является скалярным произведением a на и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3, теорема 10.2).

Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено , поэтому

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.

3,1