Достаточность

1,3

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

1,4

При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:

Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице .