Общие уравнения прямой в пространстве

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы неколлинеарны.

Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

· В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве вида

X=-2

Y=2t+1

Z=-3t+4

, а прямую b – канонические уравнения прямой в пространстве . Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Очевидно, прямая a проходит через точку и имеет направляющий вектор . Прямая b проходит через точку , а ее направляющим вектором является вектор .

Вычислим векторное произведение векторов и :

Таким образом, нормальный вектор плоскости , проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты .

Тогда уравнение плоскости есть уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости равен . Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид .

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости :

Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.