Дифференциальные уравнения установившегося движения

Дифференциальное уравнение неразрывности потока выведено в параграфе 1.4. Если происходит установившееся фильтрация, то в этом уравнении производная по времени будет равна нулю. Если жидкость несжимаема, а пористая среда недеформируемая и однородна, то плотность, вязкость жидкости и проницаемость пласта постоянны и их можно вынести из-под знака дифференциала и уравнение неразрывности примет вид:

(2.1)

Подставим в это уравнение скорости фильтрации, найденные из закона Дарси (п. 1.2), получим дифференциальное уравнение установившегося движения:

(2.2)

Это уравнение называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа – линейное дифференциальное уравнение так, как сумма решений уравнения Лапласа также является решением этого уравнения. На этом свойстве основан метод суперпозиции (наложения) решений, который будет использоваться в дальнейшем.

В случае притока к галерее, уравнение Лапласа запишется:

.

(2.3)

а для скважины

.

(2.4)

Для простых фильтрационных потоков установившегося движения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности удобно записывать в интегральном виде:

.

(2.5)

Одномерные фильтрационные потоки