Как коротко записывают и называют «астрономические» числа

Читатели, наверное, обратили внимание на любопытную особенность встретившихся в этой книжке громадных («астрономических») чисел; всё это – числа «круглые»; они оканчиваются большим числом нулей. Это – не случайное совпадение и не специально подобранные примеры. Всякое очень большое число, полученное в результате счёта или измерения, неизбежно оказывается «круглым». Выясним, почему это так.

Когда мы говорим, «у меня на руке пять пальцев», то это значит, что их точно пять, а не шесть и не три. Точно так же, когда кто-нибудь говорит, что в деревне, где он родился, было сорок семь дворов, то это значит, что дворов было ровно сорок семь. Если же мы говорим, например, что в городе Щербакове было во время переписи 1939 года 55 500 жителей, то тут слова «пятьдесят пять тысяч пятьсот» имеют несколько иной смысл. Во-первых, в течение дня переписи некоторые люди приезжали в Щербаков, другие уезжали из него; во-вторых, как бы тщательно ни производилась перепись, некоторые люди могли быть записаны дважды, а иные – вовсе пропущены. При счёте жителей города ошибка в пару десятков не имеет существенного значения и не считается грехом.

Поэтому нули на конце числа 55 500 – количества жителей города Щербакова – обозначают не отсутствие, а наше незнание числа десятков и числа простых единиц.

Точно так же, когда мы говорим, что число всех жителей земного шара равно 2 100 000 000 (два миллиарда сто миллионов), то это число не будет точным. В разных странах переписи бывают в разное время, и согласовать их очень трудно; есть такие страны», население которых до сих пор как следует не учтено. Возможно, что население земного шара равно не 2 100 000 000, а 2 090 000 000 или 2 137 000 000. В числе, выражающем население земного шара, мы знаем точно только миллиарды и сотни миллионов. Сколько там десятков и единиц миллионов, а тем более сколько единиц меньших разрядов, – мы не знаем. Нули показывают не отсутствие, а наше незнание этих разрядов. «Круглота» числа здесь только кажущаяся.

То же самое получится при счёте молекул в литре воздуха, при счёте звёзд на небе, даже при счёте деревьев в лесу. Любое пересчитывание очень большого числа предметов всегда оказывается приблизительным. А раз мы знаем только несколько наибольших разрядов в числе, а более мелких разрядов точно учесть не можем, то мы и пишем в конце нули, получая «круглые» числа.

Что сказано про счёт, то можно повторить и про измерение или взвешивание. Если мы- на торговых весах взвешиваем груз в несколько килограммов, то ошибка в несколько граммов или даже десятков граммов почти неизбежна. Измеряя длину комнаты, мы учитываем метры, иногда – сантиметры, но не обращаем внимания на миллиметры- (да и при желании мы не сумели бы их учесть). Всякий измерительный прибор обладает некоторой степенью чувствительности, и в результате измерения всегда получается приближённое значение измеряемой величины.

В числе 55 500 мы считали, что десятки тысяч, тысячи и сотни нам точно известны. Эти цифры, в отличие от нулей на конце, называют верными цифрами приближённого числа. В числе 55 500 три верные цифры. В числе жителей земного шара (2 100 000 000) только две верные цифры.

Не нужно думать, что нуль не может быть верной цифрой. Как пример очень большого числа, мы приводили на странице 28 массу Земли, равную.

6 000 000 000 000 000 000 000 тоннам.

В этом числе астрономы ручаются за правильность первых двух цифр, т. е. за шесть секстиллионов и за отсутствие сотен квинтиллионов. Значит, верными цифрами будут здесь шестёрка и первый нуль. Остальные нули показывают наше незнание соответствующих разрядов (о том, как в самой записи отличить «верные» нули от «неверных», будет сказано немного дальше).

В большинстве технических измерений удаётся определить 2 или 3 верные цифры. В более ответственных случаях удаётся определить 4 или 5 верных цифр. Самые точные физические измерения дают 6 или 7, очень редко – 8 верных цифр.

Какой отсюда можно сделать вывод? Тот, что во всех числах, которые даются нам наукой и жизнью, бывает от двух до пяти (редко – больше) первых верных цифр, остальные же цифры на конце – нули.

Но всякое число, оканчивающееся нулями, можно записать в виде произведения небольшого числа на «единицу с нулями». Например, число 509 000 000 (поверхность земного шара в квадратных километрах) можно записать так:

509Х1 000 000.

Число, выражающее массу Земли (в тоннах),

6 000 000 000 000 000 000 000

можно записать так:

60X100 000 000 000 000 000 000;

здесь при шестёрке оставлен нуль, который, как мы уже говорили, является верной цифрой, а ко второму множителю отнесены «сомнительные» нули.

При такой записи первый множитель будет обычно иметь 2 или 3, реже 4 или 5, и только в исключительных случаях 6, 7 или 8 цифр. Такое число легко и записать коротко, и назвать. Значит, остаётся только придумать способ коротко записывать и называть числа, которые составляют второй множитель, т. е. те числа, которые изображаются в виде «единицы с нулями».

Для сокращённой записи таких чисел пользуются обозначением «показателя степени». Что же это за обозначение?

Чтобы к нему подойти, рассмотрим перемножение нескольких одинаковых чисел друг на друга.

Произведение двух одинаковых множителей – иными словами, произведение числа самого на себя – называется второй степенью или квадратом этого числа. Например, 64 есть произведение 8 на 8; поэтому число 64 называют квадратом (второй степенью) восьми; 100 есть произведение 10Х10; поэтому число сто есть квадрат десяти. Название «квадрат» для произведения двух одинаковых множителей принято потому, что площадь квадратного участка равняется длине стороны участка, умноженной сама на себя (рис. 9).

Произведение трёх одинаковых множителей называется третьей степенью или кубом данного числа. Например, 1000 есть куб десяти, потому что

10X10X10=1000.

Вместо произведения 10Х10 принято писать 10²; маленькая двойка, написанная справа выше десяти, показывает, что десять повторяется, как множитель, два раза.

Точно так же произведение 10Х10Х10 записывают короче так: 10³; маленькая тройка, написанная выше и правее десяти, показывает, что десять повторяется, как множитель, три раза.

Всякое число, например, 10, можно повторять, как множитель, не только два или три, но и любое число раз. Число 10 000, например, равно 10Х10Х10X10. Здесь имеется четыре одинаковых множителя. Это произведение 10X10X10X10 называют четвёртой степенью десяти и записывают сокращённо так: 10%

Таким же образом поступают и дальше. Произведение нескольких одинаковых множителей, т. е. произведение некоторого числа самого на себя несколько раз, называется степенью этого числа; само число – основанием степени, а то число, которое показывает, сколько раз основание повторяется множителем, называется показателем степени. В нашем примере, 10⁴=10 000, число 10 – основание, число 4 – показатель степени, а число 10 000 – степень. Показатель степени пишется всегда мелким шрифтом правее и немного выше основания.

Различные степени десяти очень легко вычислить, потому что каждое умножение на 10 можно получить приписыванием нуля. Вот первые пять степеней десяти:

10 = 10¹ (10 – один множитель)

100 = 10² (10 Х 10 – два одинаковых множителя)

1 000 = 10³ (10Х10Х10 – три одинаковых множителя)

10000= 10⁴ (10Х 10X 10X 10 – четыре одинаковых множителя)

100 000 = 10⁵ (10Х10X10X10Х10 – пять одинаковых множителей).

Ясно, что любая степень десяти запишется в виде «единицы с нулями», причём число нулей будет всегда равно показателю степени. Если, наоборот, данное число записано в виде единицы с нулями, то его можно сейчас же записать в виде, степени десяти": для этого достаточно пересчитать нули. Например, 1 000 000=10⁶ (6 нулей); 10 000 000 000=10¹⁰ (10 нулей).

Теперь любое «астрономическое» число нетрудно записать коротко, выделив к тому же его верные цифры. Вот несколько примеров (сравните с ними примеры на странице 28):

Поверхность земного шара равна 509Х10⁶ квадратных километров.

Расстояние от Земли до Солнца равно 1495X10⁵ километров.

Население земного шара – 21Х10⁸ человек.

Расстояние до ближайшей звезды – 403Х10¹¹ километров.

Число молекул в литре воздуха – 27Х10²¹ молекул.

Масса Земли – 60X10²⁰ тонн. (Пишут 60X10²⁰, а не 6X10²¹, потому что за первый после шестёрки нуль астрономы ручаются, этот нуль – верная цифра).

Чаще вместо знака умножения – косого креста (X) – применяется точка (•); тогда приведённые только что числа записываются так:

509•10⁶, 1495•10⁵, 21•10⁸, 403•10¹¹, 27•10²¹, 60•10²⁰.

Читаются эти числа так:

509•10⁶–«пятьсот девять на десять в шестой» (подразумевается – в шестой степени);

1495•10⁵ – «тысяча четыреста девяносто пять на десять в пятой»;

21•10⁸ – «двадцать один на десять в восьмой» и так далее.

Введение показателя степени позволяет, как мы видим, коротко назвать и записать любое число, как бы велико оно ни было.

Напишем, например, с помощью показателя степени, до каких чисел умели считать наши предки.

Пещерные жители считали до 2.

Люди конца каменного века – до 10² – 10³.

Древние египтяне, древние греки, славяне до изобретения письменности – до 10⁴.

Вавилоняне – до 1 959 552•10⁸ (это – наибольшее число, которое исследователи нашли на вавилонских памятниках).

«Великое словенское число», о котором говорилось на стр. 16, даёт гораздо большие числа: 1 легион = 10¹², 1 леодр=10²⁴, 1 ворон=10⁴⁸, а 1 колода=10⁴⁹.

В индийских памятниках трёхтысячелетнего возраста упоминаются числа до 10⁵. Две тысячи лет тому назад индусы знали числа до 10¹⁷. В более поздних легендах упоминаются ещё большие числа. Так, в одном из сказаний о божественном Будде говорится, что он знал названия всех чисел до 10⁵⁴.

Архимед в своём «Псаммите»дал способ, с помощью которого можно назвать любое число. В качестве примера он рассмотрел названия чисел вплоть до

10^{80 000 000 000 000 000}

Чтобы только записать это число в виде единицы с нулями, понадобилось бы громадное количество книг. Назвать его в нашей системе счисления (с помощью числительных латинского языка) без помощи показателя степени – невозможно. А записанное с помощью показателя оно занимает всего треть строчки! И словами это число прочитается так: «десять в степени восемьдесят квадриллионов».

Итак, наша система записи чисел с использованием обозначения показателя степени позволяет ясно и наглядно записывать и коротко называть все числа, скоторыми имеет дело современная наука. Большего от системы счисления и требовать нельзя. Поэтому в изменении или улучшении этой системы нет надобности.