Площадь многоугольника. Теорема существования

Пусть М- множество всех многоугольников на евклидовой плоскости.

Опр. 1. Говорят, что установлено измерение площадей многоугольников, если определено отображение S: М®R₊, такое, что

S1 если F@F^/, то S (F)=S (F^/).

S2 если F=F₁+F₂, то S (F)=S (F₁)+S (F₂) – аддитивность.

S3 S(Р₀)=1, где Р₀-квадрат, построенный на единичном отрезке как на стороне. Положительное число S(F) называется мерой или площадью многоугольника А, а квадрат Р₀- единичным квадратом.

ЗАМЕЧАНИЕ Раз речь идет об евклидовой плоскости, с введенной на ней системой координат, то ясно, что единичный отрезок уже выбран.

Теорема существования. На евклидовой плоскости существует хотя бы одно отображение S: M® R₊, удовлетворяющее аксиомам измерениям площадей.

Доказательство. Зададим это отображение явно:

S (F) = (1),

ясно, что это отображение М® R₊ по Ch3. Осталось проверить выполнение аксиом S1-S3.

S1) Пусть F=F^/. $ движение, переводящее F в F^/. По теореме о реперах это движение g может быть задано парой соответствующих ортонормированных реперов R и R^/, g(R)=R^/,g(R)=R^/, если M_R(x,y), то g(M)_R^/(x,y). Если A_i(x_i,y_i), I =1,…,n вершины многогранника F в R, то в репере R^/ точки А^/_i = g(A_i) будут иметь те же координаты (x_i,y_i), тогда из формулы (1), §4 Þ½[ ]½=½[ ]½ÞS (F)=S(F^/).

S2) Пусть теперь F=F₁+F₂. По Ch4, F ориентируем так, чтобы >0. На F₁ и F₂ введем ориентацию согласованye с , это можно сделать, т.к. простой многоугольник гомеоморфен сфере с дыркой, а она ориентируема. Получаем (почему это можно сделать?)

Докажем, что (2).

Пусть М₀…М_К – ломанная, которая разбивает многоугольник F на F₁ и F₂. -радиус векторы ее вершин. Вершины многоугольника обозначим так, чтобы А₁-М₀-Аn и А_S –М_К-А_S+1, радиус - векторы точек А_i. Тогда

, (если R_k совпадает с и совпадает с , то сразу). Значит , оба отрицательными быть не могут, т.к. >0. Пусть >0, если <0, то из (1) получаем < , что противоречит Ch 2.Þ ÞS(F)=S(F₁)+S(F₂).

S3) Пусть Р₀ квадрат. Рассмотрим единичный квадрат ОА₁А₂А₃ в системе координат О(0,0), А₁(1,0), А₂(1,1), А₃(0,1).

=2ÞS(P₀)=1

Теорема доказана.