Теорема единственности

Предварительно докажем две теоремы о площади известных фигур, (не то, что установили, а произвольные)

Th1 Если S: М®R₊ - отображение, удовлетворяющее аксиомам измерения площадей и Р – это прямоугольник со сторонами х и у, то S (Р)=ху.

Доказательство: Пусть S- отображение удовлетворяющее S1-S3. Если Р₁=Р₂, то S(Р₁)=S(Р₂), а два прямоугольника равны, если у них равны соответствующие стороны х и у, значит S функция от двух переменных со значениями в R₊. Обозначим ее ¦(х, у)=S(Р).

Функция ¦(х, у) обладает следующими свойствами:

¦(х, у)=¦(у,х) это следует из §1, т.к. тогда два прямоугольника равны

¦(х₁+х₂,у)=¦(х₁,у)+¦(х₂,у)

¦(х,у)=¦(1,у)*х.

у у

х₁ х₂

Докажем 3). Зафиксируем y₀, тогда f(x,y₀)=g(x) из (2) следует, что "x_1,x₂ >0. g(x₁+x₂)=g(x₁)+g(x₂),значит g– это линейная функция на R₊, а значит, имеет вид g(х)=кх, т.е. f(х, у)=к (у) х. И, т.к. Þ при х=1 f(1,у)=к (у), то Þ(3) доказано.

f (1,у)=f (у, 1)=f (1,1) у, но f (1,1)=1Þf(1,у)=у (3)Þf (х,у)=ху.

Th2 Е сли S:М®R₊-отображение удовлетворяющее аксиомам измерения площадей, а Т-треугольник у которого х- одна из его сторон, а у- соответствующая высота, то S(Т)= ху. Доказательство самостоятельно (идея:)

Th (единственность площади) Если выбран едининичный отрезок, то существует не более одного отображения S: М®R₊, удовлетворяющего аксиомам измерения площадей.

Доказательство. Пусть S^/:М®R₊ удовлетворяет S1-S3. Пусть F-произвольный многоугольник. Разобьем его на конечное число треугольников F=D₁+…+D_n.Тогда по S2: S(R)= ; S^/(F)= , то S(D_i)=S^/(D_i)ÞS(F)=S^/(F), значит отображения S и S^/ совпадают ч.т.д.

Следствие1. При любом способе разложения многоугольника F на конечное множество треугольников сумма площадей этих треугольников одна и та же.

Доказательство очевидно из аксиомы S 2 и Т h единственности.

Следствие 2. Если вершины многоугольника А₁А₂…А_n в прямоугольной системе координат имеют координаты А_i(x_i,y_i), i=1,2,…,n, то