Теорема единственности и некоторые следствия из нее

Докажем, что в абсолютной геометрии при данном выборе единичного отрезка $ единственное отображение l:L® R₊, удовлетворяющее L1-L3. Обозначим АВ, СД,…- отрезки ÷АВ÷,÷СД÷,…-их длины в выбранной единице измерения.

Теорема (единственность длины в абсолютной геометрии). Если выбран единичный отрезок PQ, то существует не более одного отображения l:L®R₊, удовлетворяющего трем аксиомам измерения отрезков.

Для доказательства понадобятся три простые леммы, доказательство которых вы разберете самостоятельно.

Лемма 1 Пусть установлено измерение отрезков с единицей измерения PQ. Если точки А₀, А₁, А_2, …, А_n расположены так, что А₀-А₁-А₂, А₁-А₂-А₃,…, А_n-2- А_n-1-Аn и А₀А₁ = А₁А₂ = … = А_n-1Аn = РQ, то ÷А₀А_n÷ =n.

Лемма 2 Пусть установлено измерение отрезков. Если АВ<СД, то ÷АВ÷<÷СD÷.

Лемма 3 Пусть установлено измерение отрезков. Если точка O - середина отрезка АВ, то ÷А0÷=÷0В÷= ÷АВ÷

Доказательство теоремы (от противного) Пусть l:L®R₊ и l^/:L®R₊ удовлетворяет L1-L3. l(PQ)=l^/(PQ)=1 (1)

Т.к. l и l ^/-различные отображения, то $ отрезок АВ т. что l (АВ)=а, l^/ (АВ)=b и а¹b. Пусть b>а. На луче АВ отложим последовательно отрезки АА₁, А₁А₂,…А_n-₁А_n, причем n выберем так чтобы А-В-Аn. А_n-1 принадлежит отрезку АВ, т.е. А_n-1 может совпадать с В. По аксиоме Архимеда такое n-$, тогда по лемме 1.

l(AA_n-1)=l^/(AA_n-1)=n-1 (2)

A A_n-1 B

l(AA_n)=l^/(AA_n)=n (3)

A B В не может совпадать с А_n-1, т.к отрезок один, а измерения разные. Это противоречит тому, что а¹b. Значит А_n-1-В-А_nÞ АА_n-1<АВ<АА_n l(AA_n-1)<l(AB)<l(AA_n) или

n-1<a<n n-1<в<n Þв-а<1. Пусть Р₁ середина отрезка А_n-1А_n тогда из L2 и L3 Þl(AP₁)=l(AA_n-1)+l(A_n-1P₁)=n-1+1/2=n-1/2 Аналогично получаем l^/(AP₁)=n-1/2. Снова получаем, что Р₁ не совпадает с В. Либо А_n-1-В-Р₁, либо Р₁-В-А_n. В первом случае получаем AA_n-1<AB<AP₁, n-1<a<n-1/2 и n-1<b<n-1/2. Во втором случае: AP₁<AB<AA_n, и n-1/2<a<n, n-1/2<b<n. В обоих случаях b-a<1/2. Продолжая, получим b-a<1/2^k, и этот процесс никогда не остановится в силу условия a¹b. Значит b-a=0 и, поэтому l и l^/ совпадают. Ч.т.д.

Теорема 2. Каково бы ни было вещественное число а>0, при данном выборе единичного отрезка $ отрезок, длина которого равна а. (без доказательства)

С помощью этой Тh можно ввести систему координат на прямой, т.е. ввести координаты значит:

Следствие 1 В теориях содержащих абсолютную геометрию можно установить измерение отрезков с произвольно выбранным единичным отрезком. При этом установленное измерение является единственным.

Следствие 2. В теориях Á(åр) Á(åк) при данном выборе единичного отрезка результат процесса измерения отрезков совпадает с тем, который следует из аксиом меры, а в Á(åw) из W3.

§4. Многоугольник и его характеристика (плоский)

Напомним несколько определений.

Опр. 1. Ломаная называется простой, если смежные звенья не лежат на одной прямой и не смежные звенья не имеют общих точек. Если концы ломаной А₁А₂…А_n А₁ и А_n совпадают, то она называется замкнутой: в этом случае звеня А_n-1А_n и А₁А₂ тоже являются смежными. Простая замкнутая ломанная разделяет множество всех точек плоскости не принадлежащих ломаной, на два подмножества, одно из которых называется внутренней областью, а другое - внешней.

Опр. 2. Объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области называется простым многоугольником, а сама эта ломанная называется его границей.

Пусть F- многоугольник, А и В - точки на его границе. Соединим точки А и В простой ломаной L, все точки которой, кроме А и В, лежат внутри многоугольника, тогда получим два новых многоугольника F₁ и F₂: F₁ÇF₂=L, F=F₁ÈF₂.

Опр. 3. Многоугольник F в этом случае будем называть суммой многоугольников F₁ и F₂ и записывать F=F₁+F₂ (в отличи от объединения).

Опр. 4. Многоугольник F назовем ориентированным, если указан порядок обхода его вершин, обозначаем = . (Каждый простой многоугольник гомеоморфен двумерной клетке.)

Опр. 5. Пусть F=F₁+F₂. Ориентированный многоугольник будем называть суммой ориентированных многоугольников и , если ориентации , , согласованы, т.е. общей стороне приписывается противоположное направление обхода в каждом многоугольнике.

Обозначим через М- множество всех многоугольников евклидовой плоскости s. единичный вектор ^ s. Пусть и – векторы // s. Смешанное произведение (, , ) обозначим через ° (оно определяется без площади). В направляющем пространстве плоскости s выберем базис (), так чтобы =1, т.е. чтобы он был ориентирован положительно. В базисе () векторы =(а₁,а₂), (в₁,в₂). В =(а₁,а₂,0) (в₁,в₂, 0) =(0,0,1) тогда

Свойство 1^° =(, , )= = .

Следствие =0

Свойство 2^°

С войство 3^° если , , //s, то °( + )= ° + ° и ( + )° = ° + ° : по свойствам смешанного произведения.

Пусть - ориентированный n-угольник, ОÎs, положим , i=1,…,n.

Опр. 6. Число (1)

Называется характеристикой многоугольника .

Если в системе координат О вершины А_i(x_i,y_i), то (1)

Запишется в виде (2)

Ch 1 Характеристика многоугольника не зависит от выбора т. О на плоскости s.

Д оказательство: Пусть О^/- другая точка плоскости s. - характеристика многоугольника относительно этой точки. Тогда обозначим по Опр.6.

Ch 2 Если , то и (без доказательства)

Сh 3 Если - произвольный многоугольник, то , и значит .

Доказательство самостоятельно.

Ch 4 Любой многоугольник можно ориентировать так, чтобы его характеристика была положительной.

Доказательство Изменив ориентацию многоугольника на противоположную и заменив нумерацию: и т. д. из (1) получим: по свойству 2^° все слагаемые поменяли знак, а абсолютная величина не изменилась из Ch 3 получаем ч.т.д.