Где - кратность корня характеристического уравнения. При этом в первом случае , а во втором случае

Замечание. Также в случае, когда правая часть уравнения имеет вид

и, не являются корнями характеристического уравнения, частное решение в этом случае может быть подобрано в виде , где .

В том случае являются корнями характеристического уравнения кратности , частное решение в этом случае может быть подобрано в виде

ЗАДАЧИ

1) Для заданных дифференциальных уравнений выписать характеристические уравнения и базисные решения (фундаментальную систему решений), записать общее решение однородного уравнения, 2) для неоднородных уравнений найти частное решение методом неопределенных коэффициентов (комплексных амплитуд), записать решение неоднородного уравнения, 3) при заданных начальных условиях найдите частное решение.

1) 2) , 3)

4) , 5) , 6)

7) , 8)

9) ,

10.) ,

11).

Ответы: 9)

11)

12). Для уравнения затухающих колебаний

(x -координата, коэффициент затухания, собственная частота колебаний) проанализируйте, как изменяется характер решения при изменении коэффициента затухания:

Для уравнения вынужденных колебаний

найдите частное решение методом комплексных амплитуд при условии, что не являются корнями характеристического уравнения. Постройте зависимость амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия при различных значениях .

Контрольные вопросы

1. Что является решением дифференциального уравнения?

Дайте определение общего и частного решений дифференциального уравнения

2. Сформулируйте теорему существования и единственности для дифференциального уравнения первого порядка

3. Определите тип дифференциального уравнения:

4. Решением дифференциального уравнения является функция б) ; в)

5. Дифференциальное уравнение семейства кривых имеет вид: a) ; b)

6. Частное решение дифференциального уравнения имеет вид: a) ; b)

7. Корни характеристического , . Тогда общим решением дифференциального уравнения является: a) ; b)

8. Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются:

Варианты ответов:

Должен быть указан не менее двух вариантов ответа

9. Из данных дифференциальных уравнений уравнениями c разделяющимися переменными являются…

Варианты ответов:

Должен быть указан не менее двух вариантов ответа

10. Дано дифференциальное уравнение . Тогда его решением является функция…

11. Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид…

12. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

13. Решением уравнения первого порядка является функция …

14. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

15. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

16. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

17. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

18. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид …

19. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид …

20. Однородному дифференциальному уравнению второго порядка соответствует характеристическое уравнение …

21. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение , тогда его общее решение имеет вид…

22. Дано дифференциальное уравнение . Общим видом частного решения данного уравнения является …

23. Методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Самостоятельная работа

РГР № 14 (0,600 ЗЕ)

Функции комплексной переменной

Срок выполнения 9- 13 недели

Содержание работы

1. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи. Действия с комплексными числами

2. Функции комплексной переменной. Аналитические функции

3. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Вычисление контурных и несобственных интегралов при помощи вычетов.

4. Ряды и преобразования Фурье.

5. Преобразования Лапласа.

6. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений операторным методом.

7. Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формулы Дюамеля, Грина).

Литература [2, 3, 4, 11,16, 19]

1. Комплексные числа На множестве действительных чисел не существует такого числа, которое являлось бы корнем простейшего алгебраического уравнения (поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен). Поэтому возникла потребность расширить множество действительных чисел таким образом, чтобы новое множество содержало корни всех алгебраических уравнений. Введение комплексных чисел позволяет достигнуть этой цели. Прежде всего введем новый символ – , который называют мнимой единицей таким образом, что . Тогда корни уравнения запишутся как .   Алгебраическая форма записи комплексного числа Комплексное число в алгебраической форме записывается как . Здесь – действительное число, называемое реальной или действительной частью комплексного числа. Обозначают: . Действительное число называют мнимой частью комплексного числа. Обозначают: . Таким образом, комплексное число – это упорядоченная пара действительных чисел . Если , то комплексное число совпадает с действительным и изображается точкой на действительной оси ОХ. При получаются чисто мнимые числа , которые изображаются точкой на мнимой оси OY. Комплексное число можно отождествить с точкой плоскости OXY или радиусом – вектором . Плоскость OXY будем называть комплексной плоскостью (рис. 1)   Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: . Два комплексных числа называют сопряженными, если действительные части этих чисел равны, а мнимые отличаются знаком. Обозначают: . Над комплексными числами в алгебраической форме определены следующие операции: а) сложение . Сумма изображается вектором – суммой векторов и . б) вычитание . Разность изображается вектором – разностью векторов и .   в) умножение Особо отметим произведение комплексно-сопряженных чисел, которое является числом действительным: .   г) деление     Пример 1. Найти значение функции при . . Для вычисления первого слагаемого воспользуемся формулой бинома Ньютона: Второе слагаемое есть частное от деления двух комплексных чисел. Используя правило деления комплексных чисел в алгебраической форме, получим: . Итак, .   Пример 2. Решить уравнение . По формуле для корней квадратного уравнения имеем: . Извлекая корень квадратный из числа , получим: . Следовательно, . Отсюда .