Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Подставляем полученное соотношение в исходное уравнениеСтр 1 из 6Следующая ⇒ Из этого уравнения определим переменную функцию С 1(х): Интегрируя, получаем: Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем: . Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.
1.6. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется уравнение вида где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1. Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на yn. Применим подстановку, учтя, что . , . Получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде: ; 1.7. Однородные уравнения. Функция f (x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество: Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Рассмотрим однородное уравнение Так как функция f (x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: Поскольку параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем: Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е. Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: Далее заменяем y = ux, . таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u. Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
1.8. Уравнения, приводящиеся к однородным. Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным. Это уравнения вида . Если определитель то переменные могут быть разделены подстановкой где a и b - решения системы уравнений
1.9. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка вида: называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: Таким образом, для решения надо определить: 1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u; 2) как найти эту функцию. Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать: То есть . Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х: Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. . Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. Проинтегрируем равенство : Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С (у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию С (у). Продифференцируем полученное равенство по у. Откуда получаем: Для нахождения функции С (у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С (у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю. Теперь определяем функцию С (у): . Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем: Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
|