Основные характеристики помехоустойчивых кодов

1. Основание кода (q) – определяется числом (количеством) различных единичных элементов (символов), используемых при построении кода и кодовых последовательностей. Основание кода чаще всего обозначается через «q» и при этом:

– если q=2, т. е. используются двоичные символы «1» и «0», то такие коды называются двоичными и кодирование производится в двоичном поле Галуа, т. е. GF(q)=GF(2);

– если q>2, например, q=2^m, m≥2, то такие помехоустойчивые коды называются недвоичными и кодирование информации производится в недвоичном поле Галуа, т. е. GF(q^m)=GF(2^m).

2. Длина кодовой последовательности (n) – равна количеству двоичных символов (бит) в данной кодовой последовательности. Длину кодовой последовательности принято обозначать «n»: минимальная длина кодовой последовательности n=2 двоичным символом (нижний предел); верхний предел «n» в принципе может достигать тысячи и десятки тысяч двоичных символов.

3. Количество информационных символов «k» – это количество двоичных символов несущих полезную информацию; количество информационных символов в кодовой последовательности принято обозначать через «k» и их число может быть равным k = 1,2,… и т. д. двоичных символов.

4. R=k/n – скорость передачи кода, характеризует количество избыточных символов приходящиеся на один информационный символ. Чем больше R, т. е. R→1 (R всегда меньше 1), тем эффективнее помехоустойчивый код, так как передается меньше избыточной информации.

5. Избыточность помехоустойчивого кода делится на:

– абсолютную избыточность l = (n – k) двоичных символов;

– относительную избыточность r = (n – k)/n=(l/n)*100%.

6. Вес кодовой последовательности (w _к.посл. ) – определяется количеством ненулевых символов, входящих в кодовую последовательность. Например, пусть n=10 двоичных символов, а две кодовые последовательности данного помехоустойчивого кода имеют структуру: F₁(x)=1001110010 и F₂(x)=0010101100, то вес F₁(x) w₁= 5, а F₂(x) – w₂=4.

7. Классификация кодовых последовательностей: если заданы или известны такие характеристики помехоустойчивого кода как n и k, то можно определить:

– К_общ = 2ⁿ – общее количество кодовых последовательностей;

– К_раз = 2^k – количество разрешенных кодовых последовательностей;

– К_запр = 2^l – количество запрещенных кодовых последовательностей.

В принципе из общего количества К_общ=2ⁿ кодовых последовательностей некоторые кодовые последовательности будут иметь одинаковый вес, а их общее число будет определять количество ошибок наименьшей кратности, вызывающих необнаруживаемые ошибки данным кодом.

8. Кодовое расстояние (d) – равно (соответствует) количеству позиций которыми разнятся (отличаются) две сравнимые кодовые последовательности; сравнение кодовых последовательностей производится посимвольно (побитно) путем суммирования по модулю два, например,

F_i(x) Å F_j(x) = Å

0010101100

d = 101101 1 11 = 7, т. е. d = 7.

Так как общее количество кодовых комбинаций К_общ=2ⁿ, то общее число кодовых расстояний может быть более чем 2ⁿ/2, среди которых d может быть как максимальным, так и минимальным.

Хэмминг доказал, что не максимальное, а минимальное расстояние характеризует свойства помехоустойчивого кода. Минимальное кодовое расстояние обозначается как d_о или d_x (хэмминговое расстояние) и равно наименьшему значению d из всей совокупности. Например, d₁=7,d₂=5,d₃=8, …,d_i=3,d_i+1=4,…,d_j=9,…d_о = d_x = 3.

Замечание: с позиции теории кодирования d_x показывает, сколько символов в кодовой последовательности надо исказить, чтобы перевести ее в другую кодовую последовательность. Кодовое расстояние может обозначаться как dist(F_i,F_j), например, dist(0122,2102)=2.