Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 4: Используем признак Лейбница:

1)
Данный ряд является знакочередующимся.
2)

Члены ряда не убывают по модулю.
Вывод: Ряд расходится.
Примечание: В данном примере неопределенность устраняется стандартным способом: делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени. Старшая степень числителя: 1, старшая степень знаменателя:

Пример 5: Используем признак Лейбница.
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом . Используем предельный признак сравнения:
– конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Исследуемый ряд сходится только условно.

Пример 7: Используем признак Лейбница.
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда:
и , следующий член ряда к предыдущему:
и , следующий член ряда к предыдущему:
…

Пример 9: Используем признак Лейбница.
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – так как более высокого порядка роста, чем
Члены ряда убывают по модулю
Вывод: Ряд сходится.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд – сходится.
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Пример 10: Используем признак Лейбница.
1)
Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем интегральный признак.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Исследуемый ряд сходится только условно.

Автор: Емелин Александр