Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пример 8Исследовать ряд на сходимость Используем признак Лейбница: 2) Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель. Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу? Попробуем записать несколько первых членов ряда: Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль? Обратимся к теории математического анализа, там давно всё доказано. Справка – Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. Математики говорят, что факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность. – Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. – Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай). – Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: , . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: Конец справки Таким образом, второй пункт исследования (вы еще об этом помните? =)) можно записать так: Вывод: ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: А здесь уже работает старый добрый признак Даламбера: Используем признак Даламбера: Таким образом, ряд сходится. Исследуемый ряд сходится абсолютно. Разобранный пример можно решить другим способом. Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно. Наверное, вы уже заметили, что обратное неверно: если ряд сходится условно, то это еще не значит, что он сходится абсолютно. Пример 8 «на бис» вторым способом. Исследовать ряд на сходимость Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем признак Даламбера: Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно. Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости.
|