Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е. (, ) = (, ).

(, ) = | |∙ | |∙ cos(), а (, ) = | |∙| |∙ cos(). И так как

| |∙ | |= | |∙| |, как произведение чисел и cos() = cos(), то

(, ) = (, ).

2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно произведению длины вектора на проекцию вектора на вектор (длины вектора на проекцию на ). Так как

то получаем: .

3. Числовой множитель любого из 2-х векторов можно вынести за знак скалярного произведения: (λ , ) = (, λ ) = λ(, ).

4. Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы.

5. Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е. () = | |².

() = | |∙| | cos0 = | |∙| | = | |².

| | = ).

6. Физический смысл скалярного произведения.

Если под действием постоянной силы точка перемещается по прямой из т. М₁ в М₂, то работа силы будет равна А = ().

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат (с выводом формулы).

Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты:

= { ; ; }, = { ; ; }, то (, ) = + +

Доказательство

Пусть = + + ; = ;

Найдем (, ) = ( + , ) = () + (, ) +

+ () + () + () + () + () + ()+() = () + () + () = ² + | |² + | |² = + .

Критерий ортогональности (перпендикулярности) векторов (доказать).

Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Доказательство:

Если векторы перпендикулярны, значит угол м/у ними равен 90. Тогда скалярное произведение запишется: () = | |∙| | cos90 = 0.

Если () = 0 => векторы перпендикулярны, т.к. cos90 = 0.

Свойства векторного произведения (доказать) и его геометрический смысл.

Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) | | = | | × | | × sinj, где j – угол между векторами и ;

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) тройка векторов , и – правая.

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то их векторное произведение полагают равным нулевому вектору. (Об: [ , ] или ´ .)

Свойства векторного произведения:

1) При перестановке векторов и их векторное произведение меняет знак, т.е. [ , ] = – [ , ].

Векторы [ , ] и [ , ] коллинеарны, имеют одинаковые модули, но противоположно направлены (тройки , , [ , ] и , , [ , ] противоположной ориентации). Значит, [ , ] = – [ , ].

2) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак векторного произведения, т.е. [ l , ] = [ , l ] = l [ , ].

3) Если один из векторов записан в виде суммы, то векторное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно: [ ₁ + ₂, ] = [ ₁, ] + [ ₂, ][ , ₁ + ₂ ] = [ , ₁ ] + [ , ₂ ].

4) Критерий коллинеарности векторов.

Ненулевые векторы и коллинеарные Û их векторное произведение равно нулевому вектору.

5) Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов и равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

6) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы и имеют координаты: = { a_x; a_y; a_z }, = { b_x; b_y; b_z }, то

7) Механический смысл векторного произведения.

Если вектор это сила, приложенная к точке M, то векторное произведение [ ] представляет собой момент силы относительно точки O.

Критерий коллинеарности векторов (с док-ом, используя векторное произведение векторов).

Ненулевые векторы и коллинеарные Û их векторное произведение равно нулевому вектору.

Если || , то угол м/у ними равен 0 или 180.

Но тогда [ , ] = | | × | | × sin() = 0. Значит, [ , ] = 0.

Если же [ , ] = 0, то | | × | | × sinj= 0. Но тогда j = 0 или j = 180, т.е. ||

Вычисление векторного произведения в декартовой системе координат (с выводом формулы).

Пусть известны координаты векторов , то есть

Используя свойства векторного произведения, найдем:

Выражения в скобках можно записать с помощью определителей второго порядка (проверьте), то есть:

правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:

Эта формула является удобной записью векторного произведения в координатах.