Достаточность

Если a || b, то компланарность векторов a,b и c очевидна.

Пусть теперь a ∦b. Будем считать, что векторы a,b,c отложены от одной и той же точки. Пусть abc = 0. Это означает, что (a × b,c) = 0.

Следовательно, вектор a × b ортогонален вектору c. Но вектор a × b ортогонален плоскости σ, образованной векторами a и b. Поскольку c ортогонален этому вектору, то он лежит в σ. А это означает, что векторы a,b и c компланарны.

Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат (с выводом формулы).

Найдём выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть тогда векторное произведение в координатах записывается в виде:

тогда скалярное произведение в координатах имеет вид:

Правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка. Итак, смешанное произведение в координатах имеет следующий вид:

Геометрический смысл смешанного произведения (доказать теорему о модуле смешанного произведения).

Модуль смешанного произведения трёх векторов численно равен объёму параллелепипеда, построенного на трех данных векторах, как на его ребрах: |(a,b,c)|=V_пар