Скалярное произведение векторов

Критерий линейной зависимости трёх векторов

Три свободных вектора линейно зависимы Û они компланарны.

Доказательство:

1) Необходимость. Пусть векторы , и – линейно зависимы. Тогда по определению существуют числа (хотя бы одно из них отличное от нуля) такие, что выполняется равенство . Пусть, например, .

Тогда . Следовательно, , и лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.

2) Достаточность. Пусть , и – компланарны. Рассмотрим 2 случая.

а) Пусть || . Тогда такое, что выполняется равенство . Тогда . Следовательно, векторы , и – линейно зависимы.

б) Пусть и не параллельны. Тогда и образуют базис. Следовательно, вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Тогда векторы , и – линейно зависимы.

Скалярное произведение векторов: определение и свойства (доказать).

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е. число

Если = 0 или = 0, то скалярное произведение векторов полагают равным нулю.