Переходный процесс в однородной неискажающей линии

(классический метод расчета)

Переходные процессы в однородной неискажающей линии описываются уравнениями

; . (8.1)

- т.к. линия неискажающая

Введём новые обозначения: , и .

Тогда имеем ; ; ; .

Подставим эти выражения в уравнения (8.1) и разделим на , получим

; .

Продифференцируем первое соотношение по , а второе - по

; .

Отсюда получим , т.к. .

Уравнение преобразуется в волновое уравнение

.

Введём новые переменные ; .

Принимаем во внимание, что

; ; ; ,

; ;

;

.

Подставим в волновое уравнение

или .

Проинтегрируем

и .

Возвратимся к переменным и и запишем

. (8.2)

Отсюда получаем выражение для напряжения между проводами линии

.

Найдём , для этого в уравнение подставим (8.2).

Получим , т.к. и , и, проинтегрировав, найдём

.

Можно принять, что .

Для тока в линии получим

.

Введём новую величину , называемую коэффициентом затухания неискажающей линии, тогда полученные решения записываются следующим образом

;

.

Функции и отличаются от и в предыдущих выражениях на множители и .

Получено общее решение, вид функций и для конкретного случая определяется условиями конкретной задачи.

8.2. Переходные процессы в неискажающей однородной линии (операторный метод расчета)

Т.к. оригиналы , то операторные изображения равны :

;

.

Производная по времени имеет изображение: , - распределение вдоль линии при .

Производная по :

.

Для тока соответственно производные равны:

; .

С учётом написанного уравнения однородной линии в операторном виде записываются следующим образом:

,

.

Полученные дифференциальные уравнения обыкновенные, т.к. содержат одну переменную .

Зададим граничные условия: и , примем нулевые начальные условия: и .

Уравнения принимают вид

; .

Продифференцируем первое уравнение по и с учётом второго, получим

,

где .

Решение для напряжения ищем в виде:

,

где и ,

Операторный ток ищем в виде:

,

где - операторное волновое (характеристическое) сопротивление линии, - операторный коэффициент распределения.

Для неискажающей линии данные выражения упрощаются: , . Операторные напряжение и ток в этом случае равны:

,

.

Перейдём к оригиналам, используя формулу Римана-Меллина

,

Здесь член представляет собой прямую волну напряжения и тока, движущуюся со скоростью от начала линии к её концу; член - обратную волну, движущуюся со скоростью от конца линии к её началу. В связи со сказанным напряжение и ток в линии могут быть представлены в виде суммы прямой и обратной волн. В любой точке линии отношение напряжения и тока для прямой волны равно , а для обратной волны - .

Множитель говорит о затухании волн по мере их движения, причина которого – превращение энергии электрического и магнитного полей в теплоту.