Теоремы о непрерывности и дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом, следствие

Интеграл с переменным верхним пределом (ИСПВП)

Т1 Если функция интегрируема на , то ИСПВП непрерывен на .

Доказательство:

Фиксируем произвольную точку .

Возьмем такое приращение ,

что .

Рассмотрим приращение –

это приращение функции .

т. к. функция интегрируема на отрезке (по необходимому условию интегрируемости), то она ограниченна на .

т. е. такое, что .

т. е. . Тогда ,

т. е. малому приращению аргументу соответствует малое приращение.

В силу произвольности выбора в точки , непрерывен на .

Т2 Если функция непрерывна на , то ИСПВП дифференцируем на .

Доказательство:

Фиксируем произвольную точку .

Возьмем такое приращение , что .

Таким образом

Заметим, что при

В силу непрерывности функции на

или

Последнее означает дифференцируемость в точке и причем

Замечание 1

Каждая непрерывная функция на имеет на этом отрезке первообразную

Замечание 2

ИСПВП обладает лучшим свойствами, чем исходная функция.