Теория

Лабораторная работа № 6.

Определение времени соударения шаров.

Теория.

Введение. Рассмотрим столкновение двух одинаковых абсолютно упругих шаров в системе центра масс. Пусть в начальный момент шары, подвешенные на нитях длины , симметрично отклонены от вертикали на угол . Когда шары начнут двигаться, их потенциальная энергия будет переходить в кинетическую, и в момент начала соударения скорости шаров определяются законом сохранения полной механической энергии

.

При не слишком больших значениях аргумента , тогда

. (1)

Дальнейшую картину удара качественно можно представить следующим образом: при столкновении шары приходят в соприкосновение в одной точке, затем, продолжая по инерции сближаться, они все больше де­формируют друг друга, соответствующая упругая сила растет и сообщает каждому из шаров растущее по абсолютной величи­не ускорение – и так до остановки; после этого скорости изменяют знаки, т.е. шары начинают расходиться, упругие деформации уменьшаются, и в конце концов тела разлетаются в разные стороны. При соударении происходят «потери» энергии. Какова причина этих «потерь»? Если материал, из которого изго­товлены шары, не является абсолютно уп­ругим, то при его деформации происходит выделение тепла, т.е. уменьшается механи­ческая энергия. Но это не все. Даже если бы шары были сделаны из абсолютно упругого материала, удар все равно не был бы абсолютно упругим, по­тому что при ударе возбуждаются звуковые волны, кото­рые продолжа­ют бегать по каждому шару, отражаясь от его границ, даже когда сам удар закончит­ся. Разобраться в сложной картине неста­ционарной (меняющейся) упругой дефор­мации очень трудно. На помощь нам при­дет то очевидное обстоятельство, что ско­рости шаров обычно гораздо меньше ско­рости звука в материале, из которого сделаны шары. Это значит, что изучая силу упругого взаимодействия шаров в зависимости от деформации, начать следует с нулевой скорости, т.е. с задачи, в которой шары статически деформиру­ют друг друга.

Статическая деформация упругого шара. Допустим, что два шара одинакового радиуса , сдавлены друг с другом некоторой силой , так что их центры сближены до расстояния . Какова зависимость ? Картина сдавленных друг с другом шаров имеет очевидные плоскость и ось симметрии.

Площадка контакта шаров – круг радиуса . Поскольку речь идет о слабой деформа­ции (сталкиваясь с маленькой скоростью, тела не деформируются сильно), можно сначала грубо предположить, что вся по­верхность каждого из тел (в деформиро­ванном состоянии их шарами уже не назо­вешь), за исключением плоской площадки контакта, остается сферической. Тогда из теоремы о перпендикуляре, опущенном из любой точки окружности на диаметр, получаем

, .

На самом деле вблизи пло­щадки контакта поверхности отклоняются от сферических, поэтому наш ответ для несколько завышенный – расчет показы­вает, что ровно вдвое. Но поскольку нас интересуют оценки с точ­ностью до численных коэффициентов, то можно написать . Заметим, что при получается . Правдоподобно предположение, что вда­ли от площадки контакта материал оста­ется недеформированным, а деформация проходит в глубь тела на расстояние порядка нескольких характерных размеров области контакта, т.е. ~ ~ . (Значок ~ в таком контексте читается «пропорционально»). Область, где лока­лизованы все деформации, не имеет, ко­нечно, четкой границы, но она осесимметрична и зеркально симметрична, ее площадь поперечного сечения ~ ~ , а длина порядка нескольких характерных размеров области контакта. Естественно предположить, что при с увеличением площадки контакта эта область растет самоподобным образом. Для оценки упругой силы воспользуемся законом Гука: относительное удлинение пропорционально напряжению

, ,

где Е — модуль упругости материала, из которого сделаны шары. Из закона Гука получаем

~ ~ .

Эта формула была получена Генрихом Герцем в 1887 году. (Генрих Герц – немецкий физик, который первым наблюдал электромагнитные волны и в честь которого названа единица измерения частоты).

Интересная особенность закона Герца в том, что сила упругости не пропорциональна деформации. С ростом сила растет как , т.е. быстрее, чем по линейному закону. Это понятно – с ростом деформированию coпpoтивляeтся все более широкий участок каждого изшаров. Зная выражение для силы , найдем потенциальную энергию деформации

= ,

которая пропорциональна в степени 5/2. Точный расчет коэффициента пропорциональности приводит к следующему результату

, (2)

здесь коэффициент Пуассона материала шаров.

Квазистатическое представление об ударе. От неподвижных сдавленных шаров вернемся к сталкивающимся и рассмотрим момент максимальной деформации, когда тела остановились на мгновение перед тем, как начать разгон в обратную сторону. В этот момент кинетическая энергия двух шаров перешла в потенциальную энергию деформации. Оценим максимальную деформацию шаров при ударе с помощью закона сохранения энергии, получим

~ ,

где - скорость звука в материале шаров. Полученная простая формула хороша своим прозрачным физическим смыслом: при медленном столкновении, т.е. когда (скорости шаров малы по сравнению со скоростью) звука, деформация, даже максимальная, остается малой в течение всего времени столкновения. Это вполне отвечает упоминавшимся качественным соображениям о том, что удар может быть близок к абсолютно упругому при .

Продолжительность соударения. Найдем ее из закона сохранения энергии

,

, (3)

здесь . Интеграл в полученном соотношении сходящийся, его численное значение равно 1,47. Таким образом, длительность соударения равна

.

Выражая массу шара через плотность и учитывая (1) и (2), получаем следующее выражение для времени соударения

. (4)

В случае, когда от положения равновесия отклоняют только один шар (другой в это время покоится), система центра масс перед соударением движется со скоростью , скорости шаров в Ц –системе перед соударением ; начальные углы отклонения и расстояние до неподвижной точки уменьшаются вдвое, так что в полученных соотношениях следует сделать замену

. (5)

Об условии применимости приведенных оценок. З аметим, что использование статической формулы для упругой силы возможно только при условии – статическое распределение деформаций и напряжений в материале может установить­ся только после того, как звук успеет много раз обежать всю внутренность шара, отражаясь от поверхности. Можно сказать, что именно звуковые волны несут в каждую точку шара информацию о том, какие именно деформации и напряжения должны в ней установиться. Из (3) следует ~ . Тогда условие применимости построенных оценок принимает вид , или – это гарантирует малость деформаций и обеспечивает применимость квазистатического подхода для оценки упругой силы.

Используя при решении задачи статические формулы, мы фактически пренебрегаем упругими (звуковыми) колебаниями в шарах, возникающими при столкновении. Возможность такого пренебрежения требует, чтобы скорость была достаточно мала по сравнению со скоростью звука в материале шаров. Фактически, применимость этой теории ограничивается еще и тем, что возникающие при столкновении деформации переходят за предел упругости вещества.

Описание установки. Экспериментальная установка включает в себя два стальных шара, подвешенных на нитях, транспортир, микросекундомер. Для включения электронного блока необходимо нажать клавишу “сеть”. Нажатием на клавишу “сброс” осуществляется обнуление табло таймера.. Шары включены в электрическую цепь. В мо­мент удара происходит замыкание цепи. Таймер измеряет время протекания тока по данной цепи, т. е. длительность соударения, которая фиксируется на табло электронного блока. Повторное из­мерение времени таймером возможно только после того, как кла­виша “сброс” будет отжата и вновь переведена в утопленное поло­жение.

Все шары имеют проходящее через центр сквозное отверстие с резьбой и крепятся к подвесу путем наворачивания на вертикальный стержень, висящий на нитях подвеса. Нижний выступающий конец этого стержня служит для считывания по шкале транспортира величины угла отклонения шара.

Измерения. Измерения начинают с проверки правильности подвеса шаров. В случае необходимости проводят регулировку длин нитей и расстояния между точками подвеса нитей обоих шаров – удар должен быть центральным. Далее измеряют диаметры шаров с помощью штангенцир­куля и расстояние (высота подвеса шаров) с помощью линейки.

Отклоняя от положения равновесия один из шаров (второй при этом должен покоиться) на различные углы , снимают зависимость времени соударения шаров от величины . Рекомендуется снимать указанную зависимость через от до . Для каждого значения угла измерения времени соударения необходимо повторить раз, а затем взять среднее значение . Результаты измерений заносят в таблицу, в которой для каждого значения указывают , а также (здесь угол должен быть измерен в радианах).

На основании проделанных измерений строят график зависимости времени соударения шаров от величины . Для этого сначала ставят точки на плоскости [ , ], а затем, убедившись, что в пределах погрешностей измерений полученные результаты можно аппроксимировать линейной зависимостью

,

проводят оптимальную (на глаз или методом наименьших квадратов) прямую. Из графика находят угловой коэффициент наклона и далее из (4),(5) вычисляют модуль Юнга, задавшись табличными значениями плотности и коэффициента Пуассона стали.

Сделав по графику (или по формулам метода наименьших квадратов) оценку величины абсолютной погрешности углового коэффициента, проводят (с учетом абсолютных погрешностей измерения и ) оценку величины погрешности получен­ного значения Е.

Далее вычисляют скорость звука в материале шара и выполняют проверку применимости построенной приближенной теории: сравнивают наибольшее (в экспериментах) значение малого параметра с единицей.

Основная литература: Стрелков С.П. Механика, М.: Наука, 1975,

§ 34, 35, 81.

Дополнительная литература: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1987. Гл. 1, § 9.

Дополнение. Сколько же энергии уносит звук? Рассмотрим соударение шарика с протяженным телом. Можно сказать, что за время соударения шарик заставляет частицы тела в месте удара половину колебательного цикла. Значит период возбужденного звука должен быть примерно равен , а длина волны ~ ~ . Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся аналогией с электродинамикой. Из школьного учебника физики для 11 – ых классов известно, что интенсивность точечного излучателя (т.е. зарядов и , колеблющихся друг относительно друга) пропорциональна четвертой степени частоты. Так же в механике – если тело совершает пульсационные колебания по гармоническому закону с частотой , то интенсивность звукового излучения пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды скорости точек поверхности. При гармонических колебаниях амплитуда скорости равна частоте, умноженной на амплитуду смещения. Так что интенсивность излучения будет пропорциональна .