Геометрический парадокс: прямой угол равен тупому

Я очень люблю эту задачу. Мне нравится наблюдать за реакцией учеников и за процессом поиска решения. Самое приятное — что доказательство полностью соответствует чертежу, основано на известных теоремах, и логических ошибок нет ни в одном его пункте:-)

Итак, прямой угол равен тупому, и сейчас мы это докажем.

Построение.

Проведем отрезок . Построим углы – прямой и – тупой.

Построим отрезки .

Соединим точки и .

Пусть — середина , — середина .
Проведем серединный перпендикуляр к отрезку и серединный перпендикуляр к отрезку .
и пересекаются в точке .

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный — поскольку — середина ,
   перпендикулярен (по построению), а если в треугольнике высота одновременно является медианой,
   значит, он равнобедренный. Следовательно, , угол равен углу .
2. Аналогично, треугольник — равнобедренный, следовательно,
   .
3. Рассмотрим треугольники и .
   Поскольку , (по доказанному), а (по построению), значит, треугольник равен треугольнику (по трём сторонам).
   Следовательно, угол равен углу .
4. Мы доказали, что
   угол равен углу ,
   угол равен углу .
5. Поскольку угол равен сумме углов и ,
   а угол равен сумме углов и , мы получаем, что
   угол равен углу .

Получили, что прямой угол равен тупому. Что и требовалось доказать:-)

Чтобы разгадать этот парадокс, сделайте аккуратный чертеж. Тогда вы кое-что заметите.
Если вы учитель или репетитор – дайте эту задачу своим ученикам. Ведь они привыкли, что чертёж должен быть верным, а преподаватель — авторитет и поэтому всегда говорит правду:-)