Лекция 7

Cистемы массового обслуживания.

Теория массового обслуживания – область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. На первичное развитие теории массового обслуживания оказали особое влияние работы датского ученого А.К. Эрланга (1878-1929). (Решение задачи обслуживания звонков, поступающих на телефонную станцию.)

Система массового обслуживания считается заданной, если известны:

1) поток требований, его характер;

2) множество обслуживающих приборов;

3) дисциплина обслуживания (совокупность правил, задающих процесс обслуживания).

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Классификация СМО

Рис.1: Классификация систем массового обслуживания.

.

К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на подналадку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Под дисциплиной подключения каналов к обслуживанию понимают правила, по которым обслуживающие приборы подключаются к обслуживанию поступающих заявок, при этом все заявки считаются равноценными, с этой точки зрения различают две разновидности СМО: системы со взаимопомощью между каналами обслуживания и системы без взаимопомощи. Встречаются СМО, в которых для ускорения процесса обслуживания допускается подключение нескольких каналов к работе над одной заявкой. Например, два или несколько рабочих могут одновременно ремонтировать один станок или автомашину, по одному самолету может стрелять несколько зенитных орудий, вычисления для одной задачи могут быть, распараллелены между несколькими ЭВМ

Многофазными называются СМО, которые состоят из нескольких последовательно соединенных отдельных подсистем массового обслуживания, причем входящий поток каждой последующей подсистемы является выходящим потоком предыдущей.

Характеристики СМО.

1. Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований иопределяется следующим соотношением: , где Т — среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

2. Интенсивность обслуживания среднее число требований, обслуженных системой за единицу времени , t_обс — среднее время обслуживания.

3. Коэффициент загрузки: .

4. Вероятность того, что поступающее в систему требование откажется присоединяться к очереди и теряется, Р_отк. Этот показатель для системы массового обслуживания с отказами равен вероятности того, что в системе находится столько требований, сколько она содержит каналов обслуживания: Р_отк = P_m, где т — число каналов обслуживания. Для системы с ограниченной длиной очереди Р_отк равно вероятности того, что в системе находится т +l требований: Р_отк = P_m+l, где l — допустимая длина очереди. Противоположным показателем является вероятность обслуживания требования Р_обсл = 1- P_отк.

5. Среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди): , где P_n — вероятность того, что в системе находятся п требований.

6. Относительная (q) и абсолютная (А) пропускные способности системы. Эти величины находят соответственно по формулам: q = 1 - Р_отк, A = λ.

7. Среднее число занятых обслуживанием приборов m_з. Для системы массового обслуживания с отказами m_з можно найти по формуле

8. Общее количество требований, находящихся в системе (М). Эту величину определяют следующим образом. Для систем массового обслуживания с отказами М = m_з. Для систем массового обслуживания с ограниченной длиной очереди и ожиданием М = m_з + М_ож.

9. Среднее время ожидания требованиям начала обслуживания (Т_ож). Если известна функция распределения вероятности времени ожидания требованиям начала обслуживания , то среднее время ожидания находится как математическое ожидание случайной величины Т_ож: .

Показатели, характеризующие экономические особенности, формируют обычно в соответствии с конкретным видом системы и ее назначением. Одним из общих экономических показателей является экономическая эффективность

где с — средний экономический эффект, полученный при обслуживании одного требования, t — рассматриваемый интервал времени, G _п — величина потерь в системе. Для системы с отказами , где q_э — стоимость эксплуатации одного прибора в единицу времени, q_y — стоимость убытков в результате ухода требований из системы в единицу времени, q_пр — стоимость единицы времени простоя прибора системы, т_св = т – т₃. Для систем с ожиданием , q_ож — стоимость потерь, связанных с простоем требований в очереди в единицу времени.