Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Непрерывность функции в точке. Предел функции в точкеПусть f:E® R, a -точка области определения. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " U (f (a)) $ U (a) (f (U (a))М U (f (a))). Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке e–d " (ср. с определением предела по Коши.) Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< e Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E. Из определения непрерывной функции следует, что f:E ® R непрерывна в a О E, где a- предельная точка E Ы lim x ® a f (x) = f (a) Последнее равенство можно переписать в следующей форме lim x ® af (x) = f (lim x ® ax), которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода. Приведем еще одно определение непрерывной функции. Функция называется непрерывной в точке a, если выполнено условие limD x ® 0D y = 0, где D y = f(a+D x)-f(a). Функция f(x) = sin x непрерывна на R. Действительно, | sin x- sin a| = 2 | cos((x+a) / 2)sin ((x-a) / 2) | Ј 2 | sin((x-a) / 2)|Ј |x-a|/ 2 = |x-a|< e, как только |x-a|<d =e.
Непрерывность функции в точке. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе: Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва. Пример непрерывной функции:
y f(x0)+ f(x0) f(x0)- 0 x0- x0 x0+ x Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство . Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной. f(x) = f(x0) + (x) где (х) – бесконечно малая при хх0. Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0. 2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0. 3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция. Это свойство может быть записано следующим образом: Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке. Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.
|