Числа. Числовые множества. Числовая ось. Окрестности точки

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие. Письменными знаками (символами) для записи чисел служат цифры.

Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается . Т.о. (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть ). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются . Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, включает множество иррациональных чисел , не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i² = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:

Простые числа - натуральные числа, которые в качестве множителей имеют только себя и единицу. Ряд простых чисел имеет вид: Любое натуральное число N можно представить в виде произведения степеней простых чисел: 121968=2⁴·3²·5⁰·7¹·11². Это свойство широко используется в практической криптографии.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение:

Числовая ось, или числовая прямая — это прямая, на которой выбраны:

некоторая точка O — начало отсчёта;

положительное направление, указанное стрелкой;

масштаб для измерения длин.

Между вещественными числами и числовой осью устанавливается взаимно однозначное соответствие: начало координат соответствует нулю, числовое значение произвольной точки соответствует расстоянию её до начала координат — в положительном направлении со знаком плюс, иначе — со знаком минус.[1] Таким образом, числовая ось состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой — отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел.

Числовая прямая часто используется как наглядный образ множества вещественных чисел (например, для построения графиков). Отрезки прямой при этом изображают числовые интервалы.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Пусть ε > 0 произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x₀ на числовой прямой (иногда говорят ε-окрестностью) называется множество точек, удаленных от x₀ не более чем на ε, т.е. Oε(x0) = {x: | x − x₀ | < ε}.

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый ε-шар с центром в точке x₀.

В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке x₀ называют множество .

В метрическом пространстве (M,ρ) окрестностью с центром в точке y называют множество .