Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия его существования

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда

• x ₀ называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

• x ₀ называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то x ₀ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

• x ₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

• x ₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f (x ₀) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x ₀. Тогда:

.

• Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

x ₀ является точкой строгого локального максимума. А если

то x ₀ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x ₀

• Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x ₀. Тогда при условии

и

x ₀ является точкой локального максимума. А если

и

то x ₀ является точкой локального минимума.