Однофакторний дисперсійний аналіз

Розглянемо ідеальний варіант – випадкові впливи відсутні, необхідно дослідити вплив тільки одного фактора. Найкращою оцінкою впливу фактора може служити величина, аналогічна дисперсії, що характеризує розсіяння вихідної величини і у ~ біля деякого середнього значення. Проте не треба забувати, що в даному разі спостерігається тільки аналогія з дисперсіями, оскільки - детерміновані величини, такі величини, які впливають і похибки сприйняття відсутні.

Тоді кількісна оцінка впливу фактора може бути подана у вигляді

де N – кількіс ть приладів (рівнів), кожним з яких проводиться одне вимірювання.

У дійсності спостерігається вплив випадкових неврахованих величин, які в сукупності можна позначити ε. Вплив їх представимо у вигляді . При цьому дисперсія вихідної величини вже буде визначатися не тільки впливом фактора Х, але й випадковою величиною ε. Співставлення впливу цих величин через співставлення зумовлених ними дисперсій і є основою дисперсійного аналізу. Якщо досліджуваний фактор несуттєвий і дисперсія відтворюваності,яка характеризує один дослід, відома, то загальна дисперсія буде в основному визначатися дисперсією відтворюванос ті. Якщо ж фактор суттєвий, то можна вважати, що

Виходячи з даного співвідношення, можна знайти дисперсію, яку зумовлює фактор, що вивчається. Звичайно дисперсія відтворюваності невідома, і її треба знайти за результатами експериментальних досліджень, тому проводять паралельні досліди для кожного рівня варіювання факторів.

Вважатимемо, що дослідження об’єкта проводиться одночасно різними приладами з метою зменшення впливу фактора – приладу на результат дослідження (похибка показань). З’ясуємо, чи можна систематичні похибки приладів вважати однаковими.

Нехай число приладів буде N (фактор варіюється на N рівнях) і для кожного приладу (рівня) проводиться серія з m паралельних дослідів. Число дослідів при реалізації однофакторного дисперсійного аналізу буде N·m.

Результати дослідів наведені в табл. 6.1.

Таблиця 6.1

i	l=1	l=2	…	l=m
			…
			…
. . .	…	…	…	…	…
N			…

За результатами дослідження для кожного і – го рівня незалежної змінної (різновиднос ті приладу) знаходять середнє значення (вважаємо однакову кратність проведення дослідів):

Розкид значень відгуків у фіксованому рядку (для конкретного приладу) визначається сукупною дією випадкових величин і характеризується оцінкою дисперсії відтворюванос ті. Розкид між середніми значеннями вихідних величин визначається впливом фактора. Якщо систематичні похибки приладів однакові, то треба чекати підвищеного розсіювання, вибіркових засобів середніх .

Незміщена оцінка дисперсії відтворюванос ті для всієї сукупності дослідів визначиться у вигляді

Розглянемо чисельник даного виразу , вводячи під дужки

Розглянемо окремо другу складову в правій частині виразу

Оскільки сума відхилень від середнього в і – ій серії дорівнює нулю

то і друга складова також дорівнює нулю.

Таким чином, повна сума квадратів відхилень окремих спостережень від :

або в скороченому вигляді:

де

Складова являє собою суму квадратів різниць між середніми окремих серій (рядків, прикладів) і загального середнього y за всією сукупністю спостережень і характеризує ступень розходження систематичних похибок в окремих прикладах. Її ще називають «розсіянням за факторами».

Складова являє собою суму квадратів різниць між окремими спостереженнями і середнім відповідним серії (середнє значення показів даного прикладу) і характеризує «залишкове розсіювання» випадкових похибок дослідів.

Таким чином, повне розсіювання показів приладів складається із двох компонент, характеризуючи розсіювання між приладами, тобто різниці між їх систематичними похибками і розсіяння «в середині» приладів (серій), яке характеризує однакову (на основі передумов дисперсійного аналізу) для всіх приладів варіацію під дією випадкових величин .

Вважаємо, що гіпотеза рівнос ті систематичних похибок правильна, тому нормальні розподіли для всіх приладів тотожні, тобто похибки мають однаковий центр розподілу (систематична похибка) і дисперсію .У цьому випадку всі Nm спостережень можна розглядати як вибірку із однієї і тієї ж нормальної сукупності,a , як вже відмічалось, є незміщеною оцінкою дисперсії 2 х за цією вибіркою.

Звідси виходить, що відношення буде відповідати розподілу Х² з (Nm-1) ступенями свободи.

Проте середні за групами (приладами) також згідно з припущенням нормально розподілені з дисперсією кожна, і незалежні одна від одної.

Тому

є незміщеною вибірковою характеристикою дисперсії , одержаної на основі N спостережень величини . У результаті можна зробити висновок, що величина

розподілена за законом Х² з (N-1) ступенями свободи.

Сума квадратів відхилень від середнього в кожній серії, віднесена до дисперсії

також розподілена за законом Х² з (m-1) ступенями свободи.

Відповідні властивості композиції для N серій (приладів), компонента

також розподілена за законом Х² з N(m-1) ступенями свободи. Таким чином,

є також оцінкою параметра

Із викладеного випливає, що у разі рівнос ті систематичних похибок приладів (несуттєвості впливу фактора, що досліджується) існують три незміщені оцінки . Відношення двох однорідних оцінок дисперсій

(6.1)

відповідатиме F - розподілу з (N-1) i N(m-1) ступенями свободи. Задаючись α рівнем значущості, на основі таблиці F- розподілу можна встановити відповідну α границю, так що

Розглянемо випадок, коли фактор, що досліджується, суттєвий, тобто гіпотеза про рівність систематичних похибок (центрів розподілу випадкових похибок) невірна, але параметр у всіх N сукупностях один і той же. Зміна центрів рядків розподілів, тобто зміна на (де c_i – систематична складова похибки і-го приладу) не змінить значення що, як і раніше, розподілено за законом Х² з N(m-1) ступенями свободи, а залишається незміщеною оцінкою .

Проте чисельник виразу (6.1) саме враховує розходження між центрами розподілу c_i і має тенденцію до збільшення при збільшенні розходження між систематичними складовими. Тому правило перевірки правильності висунутої гіпотези можна подати в наступному вигляді: гіпотеза c₁=c₂=…=C_n приймається, якщо , і відкидається, якщо ,

Таблиця 6.2

Компонента дисперсії	Середній квадрат	Ступінь свободи
Між факторами		N-1
Всередині серії		N(m-1)
Повна (загальна)		Nm-1

Таблиця 6.3

Схема однофакторного дисперсійного аналізу може бути предс тавлена у вигляді табл. 6.2, 6.3.

Розглянемо приклад застосування однофакторного дисперсійного аналізу для визначення відміннос ті систематичних похибок трьох приладів (N=3). Одне і те ж значення вихідної величини об’єкта дослідження вимірювалось цими приладами п’ять раз (кратніс ть проведення досліду – число дослідів всередині серії m=5). Одержані результати наведені в табл. 6.3. Для спрощення обчислень віднімемо з усіх граф таблиці число 100 (при цьому значення дисперсій не зміниться), а також використаємо такі співвідношення:

Таблиця 6.4

i
						-35

Перетворені значення результатів відтворювання наведені в знаменнику відповідної графи табл. 6.3. На основі ос таннього співвідношення одержимо зручні для розрахунку формули, що не потребують середніх значень. Для повної суми квадратів , беручи до уваги, що

Для суми квадратів між приладами ,

(6.2)

Для суми квадратів всередині приладів

(6.3)

Для визначення i обчислимо відповідні складові вираз ів (6.2), (6.3), виходячи із табл. 6.3. Щоб оцінити, чи однакові систематичні похибки приладів N=3, необхідно, використовуючи вирази (6.2), (6.3) і дані табл. 6.4, знайти (при умові m=5):

Число ступенів свободи визначаємо згідно з табл. 6.2:

Тепер можна перевірити нульову гіпотезу про рівність сис тематичних похибок приладів. Для цього знайдемо розраховані значення коефіцієнта

Фішера:

Порівняємо знайдене значення з табличним F_m. Задаючись рівнем статистичної значущості α=5%, за таблицею знайдемо значення F_m =3,88.

Таким чином , тому гіпотеза про рівніс ть систематичних похибок приладів відкидається.

Якщо ж припущення про те, що дисперсія залишається однією і тією ж для всієї сукупності приладів, то можна знайти оцінку дисперсії на основі того, що N(m-1) має розподіл Х² з N(m-1) ступенями свободи і довірчий інтервал для неї. Дійсно, для і-го приладу при l -му вимірюванні

де c_i – систематична похибка і – го приладу;

-та реалізація випадкової похибки. Тоді

Звідки

(6.4)

Як вже було сказано, для даного випадку

де

Позначимо й одержимо

(6.5)

Отже, дисперсія між приладами (факторами) несе інформацію як про дисперсію випадкової величини ,так і про усереднене відхилення систематичних похибок. Із виразів (6.4) і (6.5) випливає, що

(6.6)

де є мірою зміни систематичних похибок.

За результатами вибірки можна визначити оцінку у вигляді

Крім того, за результатами проведеного дисперсійного аналізу можна оцінити розходження (неузгодженіс ть) між систематичними похибками і –го і j – го приладів. Для цього знайдемо значення коефіцієнта

який відповідає розподілу Ст’юдента з N(m-1) ступенями свободи (в припущенні = const)

На основі знайденого коефіцієнта t за числом ступенів свободи N(m-1) можна визначити довірчий інтервал для різниці c _i-c _j у вигляді

На практиці зустрічаються випадки, коли число спостережень в серіях різне. Позначивши через mі число спостережень і –ї групи (серії) при

одержимо

Основне співвідношення дисперсійного аналізу залишиться в нас тупному вигляді:

Розглянемо приклад проведення дисперсійного аналізу для випадку, коли число спостережень у групах різне. Для чотирьох складів гумової суміші перевіряли запас міцності на розтяг. Із кожного складу було виготовлено по чотири однакових зразка. Мета випробувань полягала у визначенні міцності кожного зразка, виборі найкращого і одержанні оцінки експериментальної похибки.

Таблиця 6.5

Один із зразків суміші А за зовнішніми ознаками одразу був визнаний дефектним і виключений з випробувань. Результати досліджень наведені в чисельниках граф табл. 6.5.

Для спрощення обробки й аналізу даних віднімемо з кожного значення 3000 і поділимо на 5. Ці кодовані дані представлені в знаменниках граф. Прицьому відношення середніх квадратів не змінюється, а дисперсія випадкових величин складає 1/25 початкової. Після обчислень маємо:

Тоді середній квадрат між сумішами:

Середній квадрат всередині сумішей:

Розраховане значення коефіцієнта Фішера

Табличне значення F_m за ступенями свободи з і 11 і (1-α) = 0,999 менше розрахованого, тому можна зробити висновок про різницю середнього запасу міцності на розтяг для чотирьох складів гумових сумішей.

95% довірчих інтервалів для середнього запасу міцності на розтяг кожної із цих сумішей визначаємо за формулою

де t знаходимо з таблиці розподілу Ст’юдента за числом ступенів свободи 11, оскільки оцінка заснована на 11 ступенях свободи із загального числа їх