Дрібний факторний експеримент

План і модель – нерозривно зв’язані поняття. Неможливо приступити до вибору плану без завдання моделі об’єкта. Наприклад, треба встановити, які плани необхідно використовувати, якщо мова іде про лінійну модель і взаємодію, що можна знехтувати.

Кількіс ть дослідів в ПФЕ 2 ^k при К≥3 значно перевищує число лінійних коефіцієнтів. Зокрема, при К=3 кількість дослідів N=8, а число коефіцієнтів дорівнює чотирьом, тобто ПФЕ типу 2³ дає надмірну інформацію, яка несуттєва при побудові лінійної моделі. Для зменшення кількості дослідів і збереженні властивостей, притаманних ПФЕ 2 ^k, користуються дрібним факторним експериментом (дрібною реплікою). Такий план являє собою частину плану ПФЕ. Наприклад, для випадку вивчення трьох факторів матриця планування ПФЕ 2³ має вигляд, показаний в табл. 4.8.

План ПФЕ 2² тут обведено рамкою.

При нехтуванні ефектом взаємодії вектор-стовпець x₁ x₂ плану ПФЕ 2² можна використовувати для введення в цей план нового фактора x₃, що дозволяє визначити лінійну модель об’єкта у вигляді Y=b₀+b₁x₁+ b₂x₂+ b₃x₃

Таблиця 4.8 - Матриця планування трикратного експерименту

У загальному випадку дрібна репліка відповідає плану ПФЕ типу 2 ^k-r де показник r, r = 1,2…, характеризує дрібність репліки відносно плану 2 ^k.

Відмітимо, що ефективність застосування дрібних реплік підвищується із зростанням числа факторів. Так при дослідженні впливу шести факторів на лінійні моделі можна в b разів скоротити число дослідів, використавши репліку більшої дрібності (при r = 3 дрібність репліки складає 1/8 від плану ПФЕ 2 ⁶ і замість 64 дослідів проводяться 8).

4.8 Складання планів другого порядку

У тих випадках, коли поверхня відклику суттєво нелінійна в рівнянні моделі крім лінійних членів і членів, що враховують взаємодію, необхідно, як мінімум включати й квадратичні члени, які дозволяють відобразити не лінійність яких-небудь переріз ів поверхні відклику. Як і раніше, завданняпланування експерименту полягає у визначенні: за виміряними значеннямивідгуку Yі коефіцієнтів апроксимуючого полінома, що включає в себе квадратичні члени. Зокрема, при двофакторному експерименті така модель має вигляд

(4.5)

Спроба оцінити коефіцієнти полінома за планом ПФЕ 2² не дає позитивних результатів. Дійсно, при побудові вектор-стовпців для x₄=x₁² I x₅=x₂² одержимо стовпчики, які співпадають один з одним і з стовпчиком x.Оскільки вказані с товпці не відмінні, неможливо визначити, за рахунок чого формується значення b ₀; воно залежить як власне від b ₀, так і від внесків квадратичних членів, тобто має місце змішана оцінка. Це твердження справедливе і при більшій кількос ті факторів. Причина полягає в тому, що для характеристики кривизни поверхні відгуку в перерізі Y=f(x_i) при x= const, i j необхідно не менше трьох точок, а дворівневі плани дозволяють встановити тільки дві точки. Таким чином, з планів ПФЕ типу 2² неможливо одержати інформацію про коефіцієнти b _ii при квадратичних членах і членах більш високого порядку. Це завдання може бути вирішена при переході до плану ПФЕ з більшим числом рівнів варіювання факторів, наприклад до плану ПФЕ типу 3 ^k. Проте тоді число дослідів стає досить великим навіть при порівняно малому числі факторів (табл. 4.9)

Більш простим шляхом рішення є добудова плану ПФЕ 2 ^k (або його дрібної репліки) до плану більш високого порядку. В цьому раз і план ПФЕ 2ⁿ приймають за ядро або центр плану другого порядку, а потім до нього додають симетрично розташовані допоміжні точки факторного простору, які називаються зірковими. Іншими словами, крім значень факторів на рівнях ±1 на кожній координатній осі факторного прос тору вибирають дві з іркові точки а також додають точку початку координат i _x = 0, і=1,к. У кожній площині, що проходить через центр і утримує вісь Y і координатну вісь і-го фактора, маєють місце три значення фактора x_i(-a;0;+a) і три відповідних значення Y. Загальне число дослідів у плані, побудованому таким чином при k>1, складає

N = 2 ^k + 2 k + 1.

Відмітимо, що число дослідів, визначене цим співвідношенням, суттєво менше ніж, наприклад, у плані ПФЕ 3 ^k при k>2.

Таблиця 4.9

Кількість факторів k	Кількість коефіцієнтів квадратичного полінома	Число дослідів при плані
ПФЕ 2k,	ПФЕ 3k,	Другого порядку,

4.9 Ортогональні центрально-композиційні плани

Обробка даних експерименту пов’язана з вирішенням досить громіздкої системи нормальних рівнянь. Щоб запобігти цьому добудову ПФЕ 2 ^k (вибір положення з іркових точок) треба робити таким чином, щоб виконувались принципи ортогональності і симетрії. Умови нормування можуть не додержуватися. План другого порядку, задовольняючи і цим умовам, прийнято називати ортогональним центрально-композиційним планом (ОЦКП).

Рис. 4.3

Як приклад розглянемо розташування дослідних точок у двофакторному просторі ОЦКП. На рис. 4.3 кружками відмічені точки ядра плану (план ПФЕ2²), а точками - зіркові точки.

Величина a, яка називається зірковим плечем, залежить від числаварійованих факторів. Щоб матриця планування була ортогональною, алгебраїчна сума елементів вектор-стовпців повинна дорівнювати нулю не тільки для кожного фактора і їх добутку, але й для вектор-стовпців відповідних квадратам факторів. Очевидно, що виконати останню умову можливо лише в тому раз і, якщо квадрати факторів піддати деякому перетворенню, оскільки в противному раз і сума квадратів будь-яких чисел не дорівнює нулю. Найпрос тішим перетворенням квадратів факторів є наступні:

(4.6)

де - перетворений фактор; d _i – постійна величина, що залежить від числа факторів k. Запишемо умови симетрії для квадратів факторів з урахуванням співвідношення (4.6):

(4.7)

Звідси

При значення d_i однакове для всіх факторів.

Для перетворених факторів повинна також виконуватись умова ортогональнос ті:

(4.8)

Вона задовольняється при значеннях зіркового плеча a, наведених у табл. 4.10. У цій таблиці є ще інші дані, необхідні для визначення коефіцієнтів квадратичних поліномів.

Таблиця 4.10 - Дані для розрахунку коефіцієнтів полінома

Маючи дані таблиці, можна побудувати ОЦКП другого порядку. Приклад такого плану для двох факторів (a=1),(d=2/3) наведений в табл. 4.11.

Таблиця 4.11 - ОЦКП другого порядку для двофакторного експерименту

Пара-метри
План ПФЕ 22		+1	-1	-1	+1	1/3	1/3	1/9
	+1	+1	-1	-1	1/3	1/3	1/9
	+1	-1	+1	-1	1/3	1/3	1/9
	+1	+1	+1	+1	1/3	1/3	1/9
Зіркові точки		+1	-1			1/3	-2/3	-2/9
	+1	+1			1/3	-2/3	-2/9
	+1		-1		-2/3	1/3	-2/9
	+1				-2/3	1/3	-2/3
Нульо-ва точка		+1				-2/3	-2/3	4/9

Аналіз даних таблиці свідчить, що умови (4.7) і (4.8) виконуються. Це дозволяє визначити коефіцієнти апроксимуючого полінома. Поліном (4.5) зурахуванням перетворення (4.6) записується так:

Після розкриття дужок поліном можна привести до звичайного вигляду:

(4.9)

де

Проілюс труємо викладене на прос тому прикладі.

Приклад. Нехай в результаті дослідів за планом ПФЕ 2² (див. табл. 4.11 u= 1, 4) одержані значення функції відклику Y, наведені нижче:

Таблиця 4.12 - Значення функції відгуку

Коефіцієнти b_i апроксимуючого полінома, які враховують лінійні ефекти і ефекти взаємодії, розраховують за формулою

У даному випадку і = 0, 3, N – 4. Після підстановки в цей вираз значень

Y u і X iu остаточно одержимо: b₀ = 5; b₁ 0; b₂ = 0, 5; b₁₂ =1,5.

Апроксимуючий поліном запишемо у вигляді

Оскільки в даному разі кількість дослідів N і кількість коефіцієнтів полінома співпадають (N = S = 4), апроксимуюча поверхня проходить через всі чотири дослідні точки. Для перевірки адекватнос ті залежності по всій поверхні експериментування поставимо контрольний дослід у нульовій точці x = x = 0, u = 9. Експериментальним значенням функції відгуку Y _{e 9} = 2, що суттєво відрізняється від розрахованого її значення Y _{p 9} = 5 ( Y = 3). Для одержання кращої апроксимації функції відгуку добудуємо план до ортогонального плану другого порядку, тобто до чотирьох дослідів, плану ПФЕ 2² і досліду в нульовій точці додамо чотири досліди (u = 5, 8) в зіркових точках.

Коефіцієнти квадратичного полінома (4.9) знаходять за формулою

Остаточно маємо:

Підставимо знайдені значення коефіцієнтів в (4.9) і запишемо:

(4.10)

Розраховані значення функції відклику Y, обчислені відповідно до (4.10) наведені в табл. 4.12. Як видно з цієї таблиці, точність апроксимації суттєво підвищується: