Доля второго участника — следующие 7 лет

Вечная рента. Напомним, что под вечной рентой (perpetuity) понимается ряд платежей, количество которых не ограничено — теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда есть смысл прибегнуть к такой абстракции, например, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Примером могут служить некото­рые виды облигаций (см. гл. 11).

Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна беско­нечно большой величине. На первый взгляд представляется бессодержательным и определение современной стоимости та­кой ренты. Однако это далеко не так. Современная величина вечной ренты есть конечная величина, которая определяется весьма просто. Выше было показано (см. (5.15)), что при п -+ оо пределом для коэффициента приведения является а_ж.. = 1//. От­куда для вечной ренты находим

д. = у- <⁵-⁴¹>

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зави­сит только от размера члена ренты и процентной ставки. Из (5.41) следует

R = AJ₉ (5.42)

т.е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализирован­ной стоимости.

Нетрудно убедиться в том, что отдаленные платежи оказыва­ют весьма малое влияние на величину коэффициента приведе­ния. С ростом п прирост этого показателя уменьшается (см. рис. 5.2). В силу сказанного при больших сроках ренты и высо­ком уровне ставки для определения современной стоимости можно воспользоваться формулой (5.41) без заметной потери точности. Например, для ограниченной ренты при / = 20%, п = 100 и R = 1 получим точное значение: А = 4,999999, а по формуле (5.41) находим А_х= 5.

Для других видов рент получим:

4.- _{р[(1+ 0}./,_ ,j при/>>1,«=1;

А_да = — при р = т > 1.

ПРИМЕР 5.20. Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн руб., выплачиваемых в конце каждого полугодия. Ка­питализированная стоимость такой ренты при условии, что для ее определения применена годовая ставка 25%, составит:

^А* ⁼ 2(1,25^- 1) ^{= 42,361 МЛН Руб}*

Рента с периодом платежей, превышающим год. В анализе производственных инвестиционных проектов иногда встреча­ются с рентами, члены которых выплачиваются с интервалами, превышающими год. Определим наращенную сумму и совре­менную стоимость таких рент.

Пусть г — временной интервал между двумя членами ренты, проценты начисляются раз в году. В этом случае современная стоимость первого платежа составит на начало ренты величину 7V^r, второго — 7V^2r, последнего члена — 7V, где Г— величи­на члена ренты, п — срок ренты, кратный г. Последователь-

ность дисконтированных платежей представляет собой геомет­рическую профессию с первым членом 7V^r, знаменателем v^r и числом членов п/r. Сумма членов такой прогрессии при усло­вии, что Г= 1, равна:

** - v—ггг - (i _+/y-i ⁼ v ⁽⁵-⁴³⁾

Разумеется, указанное в формуле соотношение коэффициен­тов приведения и наращения можно использовать в случаях, когда г — целое число лет.

ПРИМЕР 5.21. Сравниваются два варианта строительства неко­торого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млн руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млн руб. каж­дые 5 лет. Для второго затраты на создание равны 7 млн руб., на капитальный ремонт — 0,4 млн руб. каждые 10 лет. Временной го­ризонт, учитываемый в расчете, — 50 лет.

Капитализированная сумма затрат при условии, что / = 10 %, оценивается для каждого варианта в следующих размерах:

А_А = 6 + ^№- = 7,3 млн руб.,

^S5;10

А₂ = 7 + ^^ = 7,25 млн руб.

^S10;10

Таким образом, в финансовом отношении варианты оказыва­ются равноценными при принятом уровне процентной ставки. Чем ставка выше, тем меньше влияют на результат затраты на ремонт. Так, если сравнение производится при ставке 20%, то получим Л₁ = 6,39, А₂ = 7,05.

Переменная процентная ставка. На практике иногда сталки­ваются с потоками платежей, предполагающих применение пе­ременных во времени процентных ставок, например, при рест­руктурировании задолженности. Так, в последнем случае для облегчения положения должника применяются низкие ставки в первые годы выплат процентных платежей и более высокие в последующие (см. § 9.5).

Изменения размеров ставок могут быть какими угодно. Ес­ли же эти изменения "ступенчатые", то при определении нара­щенной суммы и современной стоимости постоянной ренты резонно применить стандартные формулы. Пусть для постоян-