С постоянным относительным

Приростом платежей

Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои разме­ры во времени с постоянным относительным ростом, т.е. сле­дуют геометрической прогрессии. Поток таких платежей состо­ит из членов Л, Rq, /?^²,..., Rqⁿ~^x (q — знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту по­стнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей состоит из величин Rv, Rqv¹,..., Rqⁿ~^xvⁿ. Получена геометрическая про­грессия с первым членом Rv и знаменателем qv. Сумма членов этой прогрессии равна

q"v" — 1 (qv)" — 1

_А = _Rv* --------- - = _R w > _(6л3)

qv 1 q- (1 + i)

Пусть теперь q = 1 + к, где к — темп прироста платежей. После простых преобразований получим

_,1 + к)"

A = R ----- :_ _к . (6.14)

Заметим, что прирост может быть как положительным (к > 0), так и отрицательным (к < 0).

Наращенная сумма ренты находится как

а" - (1 + i)"

А = 15 х Q2-/-Q ц ⁼ 47,184 млн руб., S = 47,184 х 1,2¹⁰ - 292,151 млн руб.

Для годовых рент пренумерандо получим

/1 + к)"

(qv)" - 1 U ⁺ '>

А = *^W; . (1 + 0 = R --------- 1 --- Н-(1 + 0. (6-16)

qv — 1 л — /

(ov)" ~ 1 V1 + ',

5 = R— —— (1 + 0^я = R --------- т--- =-Hl + 0^я+|. (6.17)

qv — 1 Ас — /

Рента р-срочная с постоянными опюопельными изменениями членов. Пусть платежи производятся не один, а р раз в году пост-нумерандо, проценты начисляются раз в году по ставке /. В этом случае последовательность платежей представляет собой геомет­рическую прогрессию Я, Rq,..., Rq"?"¹, где q — темп роста за пе­риод. Начислим проценты и суммируем результат, получим

_qnp - Л + /)^я

Для современной величины такой ренты находим

_Qnp_vn _ J

ПРИМЕР 6.4. Пусть Я = 15 млн руб., п = 10, / = 20%. Положим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Тогда наращенная сумма и современная стоимость ренты постнумеран-до составят:

1.06²⁰- 1,2¹⁰ S = 15 х ₁ QQ , _{1 2}о,5 = 1263,052 млн руб.,

^Об^х 1,2"¹⁰- 1
А = 15 х------- ₁ QQ . ₁ 20,5---------- ⁼ 203,990 млн руб.