Лекционные занятия

Тема 1. «Введение» 1 час

Примеры прикладных задач: производственная задача, задача

о строительстве шоссе. Постановка задачи математического про­граммирования. Основные определения. Переход от одной формы задачи к другой. Локальный и глобальный экстремум.Классификация задач математического программи­рова­ния.

Тема 2 «Линейное программирование» 5 час

Общая задача линейного программирования. Стандартная и каноническая формы. Теорема о разрешимости задачи линейного программирования. Опорные решения системы линейных уравнений. Теорема об экстремуме линейной функции на мно­жестве допустимых решений задачи линейного программирования. Базис опор­но­­го решения, относительные оценки переменных. Конечность числа опорных ре­шений. Достаточное условие оптимальности опорного решения. Достаточное ус­ло­вие неpазpешимости для задачи линейного пpогpаммиpования. Пеpеход от од­ного базиса к дpугому. Жоpдановы пpеобpазования. Симплекс-метод.

Тема 3 «Теоpия двойственности в линейном пpогpаммиpовании». 2 час

Опpеделение двойственной задачи.Лемма о взаимной двойственности. Лемма о связи значений целевых функций пары взаимно двойственных задач. 1-ая теорема двойственности. Одновpеменное pешение пpямой и двойственной задач. 2-ая теорема двойственности,ее пpименение.

Тема 3 «Элементы выпуклого анализа». 4 час Определение выпуклого множества. Пересечение выпуклых множеств. Критерий выпуклости множества. Отделимые и сильно отделимые множества. Критерий сильной отделимости множеств. Теорема о сильно отделяющей плоскости. Следствие об опорной гиперплоскости. Теорема Фаркаша. Выпуклые функции. Простейшие операции над выпуклыми функциями. Теорема о локальных и глобальных минимумах выпуклой функции. Одномерное сечение. Критерий выпуклости функции через одномерное сечение. Дифференциальные критерии выпуклости функции.

Тема 4. «Условия оптимальности». 4 час

Условия оптимальности для задач: min f(x),x U. min f(x), x>=0. Классическая задача Лагранжа. Необходимые и достаточные условия оптимальности. Седловая точка функции Лагранжа и 1-ая теорема Куна-Таккера. Условие pегулярности. 2-ая теорема Куна-Таккера. Условия существования седловой точки.

Тема 5. «Методы одномерной минимизации» 2 час

Унимодальные функции. Методы пассивного поиска(равномерный поиск). Методы последовательного поиска (метод дихотомии, метод чисел Фибоначчи, метод "золотого сечения").

Тема 6. «Методы безусловной минимизации функции нескольких

переменных» 4 час

Методы типа спуска. Сходимость и скорость сходимости метода. Два способа отыскания шага. Методы градиентного спуска. Методы сопряженных направ­лений. Метод сопряженных градиентов для квадратичных и неквадратичных функций.

Тема 7 «Методы условной минимизации» 2 час

Метод возможных направлений. Метод динамического программирования для задачи сепарабельного программирования и для задачи распределения ресурсов.

Тема 8 «Вариационное исчисление» 8 час

Задача о брахистохроне. Постановка задачи вариационного исчисления. Класси­фикация задач вариационного исчисления. Типы экстремумов в вариационных задачах (слабый и сильный). Дифференцируемые функционалы. Первая вариация функционала. Необходимое условие оптимальности для функционала. Ос­нов­ная лемма вариационного исчисления (лемма Лагранжа). Простейшей вариационной задачи с закрепленными концами. Расширение множества допустимых функций. Лемма о скруглении углов. Метод вариаций для простейшей вариационной зада­чи с закрепленными концами. Первая вариация. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Частные случаи уравнения Эйлера-Лагранжа (понижение порядка). Про­стран­ст­венная вариационная задача и необходимые условия оптимальности (система урав­нений Эйлера). Вариационная задача высшего порядка и необходимые усло­вия оптимальности (уравнение Эйлера-Пуассона). Обобщенная лемма Дюбуа-Рей­мона. Простейшая задача Больца и необходимые условия оптимальности. Метод вариаций для простейшей задачи с подвижными концами и необходимые условия оптимальности. Условие трансверсальности. Вторая вариация и необ­хо­димые условия оптимума. Условие Лежандра. Условие Якоби и достаточные ус­ло­вия слабого локального минимума. Собственное и центральное поле экст­ре­ма­лей. О включении в ЦПЭ и Условие Якоби. Функция Вейерштрасса. Доста­точ­ные условия сильного минимума для вариационной задачи с закрепленными концами.

Тема 9 «Оптимальное управление» 4 час Постановка задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина для задачи с закрепленными концами. Схема применения принципа максимума. Линейная задача оптимального быстродействия и принцип максимума Понтрягина. Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления и его применение для решения задачи.

Л и т е р а т у р а

1. Сухаpев В.Г., Тимохов А.В., Федоpов В.В. Куpс методов оптимизации, Наука,

1986 г.

2. Моисеев Н.Н. и дp. Методы оптимизации, Наука, 1978 г.

3. Каpманов В.Г. Математическое пpогpаммиpование,М: Наука,1975 г.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М:Наука.

1980 г.

5. Гельфанд И.И., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М:Наука. 1961 г.

6. Коша А. Вариационное исчисление. М: Высшая школа, 1983.

7. Болтянский В.Г.Математические методы оптимального управ­ления. М:Наука,

1969 г.

8. Землянухина Л.Н. и дp. Линейное программирование и смежные вопросы.

Методические указания.Часть 1 и 2. УПЛ PГУ. 1998 г

9. Землянухина Л.Н. и дp. Нелинейное пpогpаммиpование. Методические

указания. Часть 1 и 2. УПЛ PГУ. 1984 г.

11. Землянухина Л.Н. и дp. Линейное пpогpаммиpование.

12. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. М.:

"Высш. шк.", 1975

Дополнительная литература

1. Базаpа М., Шетти К. Нелинейное пpогpаммиpование, М: Мир,1982 г.

2. Дегтярев Ю.П. Методы оптимизации. М: Советское радио,1980 г.

3. Хедли Дж. Нелинейное программрование. М: Мир,1980 г.

4. Данциг Д. Линейное программирование,его применение и обобщение. М:Мир,

1966 г.

5. Жак С.В. Математическое программирование. Нелинейные и стохастические

задачи. Учебное пособие, УПЛ PГУ. 1972 г.

6. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М:ГИТТЛ,1958 г.