Собственные значения и собственные векторы матриц. Их свойства

Пусть , ,

Число называется собственным значением, а - собственным вектором матрицы , если выполняется свойство . Множество всех собственных значений матрицы называется спектром матрицы .

Свойства:

1) Если - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному значению , то также собственный вектор, отвечающий собственному значению .

Д-во:

- удовлетворяет определению собственного вектора при .

2) Если матрица невырожденная, то все собственные значения не равны 0.

Д-во:

Предположим что 0 не является собственным значением.

- ненулевое решение, - невырожденная. .

3) пусть - невырожденная матрица, - собственный вектор, - соответствующее собственное значение. Тогда является собственным вектором матрицы , отвечающим собственному значению .

- собственный вектор для матрицы , - собственное значение.

4) Если - собственный вектор матрицы , отвечающий собственному значению , то всякая линейная комбинация ( - числа), так же является собственным вектором, отвечающий тому же собственному значению .

5) - собственные векторы, отвечающие (собственные значения), тогда система векторов является линейно независимой. (Можно доказать по индукции).

Замечание: имеет различных собственных значений, то сущ. базис пространства ,сост. из собственных векторов матрицы .