Уравнение сохранения энергии для стационарного поточного процесса

Энергия поступающего воздуха, отнесенная к единице массы, обозначена Е₁ , энергия выходящего газа — Е₂.

Подведенное тепло обозначено Q_е. Индекс «е» означает, что тепло подводилось извне (externus – лат. внешний, посторонний).

Здесь нет никакого противоречия: несмотря на то, что сгорание происходило внутри камеры и тепло, подогревающее газ, выделялось именно там, энергия эта была внесена снаружи в скрытом виде, вместе с топливом. Следовательно, поскольку не ставится задача изучения физико-химических процессов горения, а рассматриваются только явления газодинамического характера, то можно считать, что тепло в количестве Q_е было внесено в камеру сгорания снаружи.

Работа на валу установки, отданная потребителю, обозначена L. Она также отнесена к единице массы проходящего через установку воздуха.

На рисунке 7 изображена упрощенная схема течения. На расчетном участке между сечениями 1 и 2, так же как и в предыдущем случае, подводится тепло и отводится механическая работа. Следовательно, для упрощенной схемы баланс энергии будет таким же, как и для газотурбинной установки, но пользоваться этой схемой проще и удобнее.

Баланс энергии для рассматриваемой схемы течения можно записать следующим уравнением:

Е₁ - Е₂ + Q_е - L = 0. (2.1)

Далее необходимо расшифровать, что подразумевается под полным запасом энергии единицы массы газа Е. При этом нужно иметь в виду, что в «полный запас энергии» нет надобности включать все ее составляющие (например, химическую, электрическую, внутриядерную); вполне достаточно принимать в расчет только те ее виды, которые могут превращаться один в другой в пределах изучаемых газодинамических задач. Тогда можно записать, что

E= u + p/ρ + w²/2 + gz, (2.2)

где u – внутренняя энергия единицы массы газа;

p/ρ – потенциальная энергия давления единицы массы газа;

w²/2 – кинетическая энергия единицы массы газа;

gz– потенциальная энергия положения (уровня) единицы массы газа;

z – геометрическая высота;

g – ускорение силы тяжести.

Все указанные величины измеряются в единицах работы на единицу массы, а именно в дж/кг или, что то же самое, в м²/сек² (в системе СИ).

Подставив в уравнение (2.1) значения Е₁ и Е₂, выраженные с помощью уравнения (2.2), и учитывая, что разность внутренних энергий u₁ – u₂ = C_v(T₁-Т₂), получим

C_v(T₁-Т₂) +p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ +(w₁²- w₂²)/2+g(z₁-z₂) +Q_е-L= 0. (2.3)

Это и есть уравнение энергии для одномерного потока или для элементарной струйки. Оно показывает, как происходит изменение внутренней энергии C_v(T₁-Т₂), потенциальной энергии давления p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ , кинетической энергии (w₁²- w₂²)/2, потенциальной энергии положения g(z₁-z₂) в результате действия подведенного извне тепла Q_е и работы L, отданной газом внешнему потребителю. Изменение внутренней энергии связано с изменением температуры газа, кинетической энергии — с изменением скорости потока, потенциальной энергии уровня — с изменением высоты положения рассматриваемой массы газа над плоскостью, принятой за начало отсчета. Что касается изменения потенциальной энергии давления, то оно требует специальных разъяснений.

На рисунке 8 изображен расчетный участок потока, ограниченный на входе сечением 1 и на выходе — сечением 2.

При входе газа через сечение 1 силы внешнего давления р₁F₁, вталкивая в расчетный, участок объем газа F₁Δx₁, совершают работу p₁F₁Δx₁.

При выходе из расчетного участка, через сечение 2 объем газа F₂Δx₂ совершает работу против сил внешнего давления p₂F₂Δх₂. Поделив эти работы на массу газа в соответствующих объемах, получим

L_вт= p₁F₁Δx₁/ ρ₁F₁Δx₁= p₁/ρ₁ ,

L_выт= p₂F₂Δx₂/ ρ₂F₂Δx₂= p₂/ρ_2.

Следовательно, p₁/ρ₁-p₂/ρ₂=L_вт-L_выт представляет собой разницу работ вталкивания и выталкивания единицы массы газа. Эта величина характеризует накопление (если p₁/ρ₁>p₂/ρ₂) потенциальной энергии давления или расходование ее (если p₁/ρ₁<p₂/ρ₂ ) потоком газа, находящимся внутри расчетного участка.

Изменение потенциальной энергии уровня g(z₁-z₂) в задачах, связанных с расчетом теплоэнергетических машин или установок, как правило, составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с другими членами уравнения энергии. Оно обычно не превышает 50…100 м²/сек², тогда как другие члены имеют порядок 10 000…100 000 м²/сек². Поэтому во всех дальнейших рассуждениях и расчетах величина g(z₁-z₂) будет отброшена. Однако, нужно обратить внимание на задачи такого рода, как расчет вентиляционных систем шахт, в которых изменение потенциальной энергии уровня весьма велико и может превышать значения других членов уравнения энергии. В этих случаях величина g(z₁-z₂) должна учитываться обязательно.

Уравнению энергии можно придать другую, во многих случаях более удобную для расчетов форму. Преобразуем сумму членов

C_v(T₁-Т₂) +p₁/ρ₁-p₂/ρ₂ = (C_vT₁+p₁/ρ₁) -(C_vT₂+p₂/ρ₂)=

=(C_vT₁+RT₁) -(C_vT₂+ RT₂)= (C_v +R)(T₁-Т₂) = C_p(T₁-Т₂),

используя известное из термодинамики соотношение C_p–C_v=R, и подставим полученное выражение в уравнение (2.3). Тогда уравнение энергии можно записать более компактно

C_p(T₁-Т₂) + (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0, (2.4)

а главное, три термодинамических параметра p, ρ и T теперь можно заменить всего лишь одним – энтальпией h=C_рТ. («Три в одном»!)

h₁-h₂ + (w₁²- w₂²)/2 + Q_е - L = 0. (2.5)

Этот вид уравнения энергии называют еще уравнением энтальпии или теплосодержания, так как в него входит энтальпия h.

В уравнении энергии принято следующее правило знаков. Подведенное внешнее тепло считается положительным, а отведенное — отрицательным; работа, совершенная газом и отведенная к внешнему потребителю, — положительной, а подведенная к газу извне и затраченная на его сжатие — отрицательной. Таким образом, в нагревателе газа (камере сгорания) тепло считается положительным, в охладителе — отрицательным; работа, получаемая в турбине, — положительной, а затрачиваемая на вращение компрессора — отрицательной. Это правило знаков согласуется с уравнением первого закона термодинамики.

Уравнение энергии часто применяется в дифференциальной форме. Чтобы получить его в этой форме, воспользуемся таким приемом. Будем мысленно приближать второе сечение к первому, уменьшая длину расчетного участка до бесконечно малой величины. Тогда в пределе получим вместо Q_е и L соответственно dQ_е и dL, авместо конечных разностей Т₁–Т₂ и (w₁²- w₂²)/2 получим соответствующие дифференциалы – dТ и – d(w²/2).

В последних двух выражениях знак минус появился потому, что берутся бесконечно малые разности T₁—Т₂ и (w₁²- w₂²)/2, а не T₂—Т₁ и (w₂²- w₁²)/2.

Подставив это в уравнение энергии (2.4) и поменяв знаки на обратные, получим уравнение энергии в дифференциальной форме или дифференциальное уравнение энергии