Завдання Д-3. Теорема про зміну кінетичної енергії

Умова завдання. Механічна система складається із вантажів 1 і 2 (коефіцієнт тертя вантажів з площиною , циліндричного однорідного котка 3 та ступінчастих шківів 4 і 5 з радіусами ступіней , , , (масу кожного шківа вважати розподіленою по зовнішньому ободу) (рис.Д3.0– Д3.9, табл.Д3). Якщо маса тіла 2 m₂ = 0, груз 2 на рисунку не зображати; шківи 4 і 5 та вантаж 1 завжди входять в систему. Тіла зв'язані між собою нерозтяжними нитками, намотаними на шківи; ділянки ниток паралельні відповідним площинам. Коток 3 котиться без ковзання. Точка є центром мас котка 3.

Під дією сили F =f(s), що залежить від переміщення вантажу 1, система починає рухатись. В початковий момент часу система знаходилась в спокої. На шківи 4 та 5 діють постійні за величиною моменти опору, що дорівнюють відповідно та .

Визначити. В момент часу, коли переміщення точки прикладання сили дорівнює , визначити указані в стовпцях «Знайти» (табл.Д3) швидкості.

Табл.Д3.

№ умови	, кг	, кг	, кг	, кг	, кг	, Н·м	, Н·м	, Н	, м	Визна-чити
							0,8		1,0
						0,6			1,2
							0,4		0,8
						0,3			0,6
							0,6		1,4
						0,9			1,6
							0,8		1,0
						0,6			0,8
						0,3			1,6
							0,4		1,4

Теоретичне обґрунтування: [5] § 121 – 124; [6] Розд.III. Гл.4. § 5 – 7;

[7] § 58, 61, 65 – 69; [8]; [9]; [10]; [12]; [14].

Методичні вказівки. Завдання Д-3 на тему «Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи» в інтегральній формі.

Для незмінних механічних систем (тобто ) теорема має вид:

, (Д3.1)

де Т - кінетична енергія системи в кінцевому положенні;

Т₀ - кінетична енергія системи в початковому положенні;

- сума робіт зовнішніх сил, діючих на систему на заданому її переміщенні;

- сума робіт внутрішніх сил, діючих в системі на заданому її переміщенні.

Кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій тіл системи, тобто:

(Д3.2)

В залежності від того, який рух виконує тверде тіло, кінетична енергія визначається:

1) при поступальному русі , (Д3.3)

де m - маса тіла; V – швидкість тіла.

2) при обертальному русі тіла навколо нерухомої осі z

, (Д3.4)

де I_z - осьовий момент інерції тіла відносно осі z;

- кутова швидкість тіла.

3) при плоскому русі в площині Сxy

, (Д3.5)

де m – маса тіла; V_C – швидкість центру мас тіла; I_Cz - осьовий момент інерції тіла відносно осі Сz; - кутова швидкість тіла.

Момент інерції однорідного котка: .

Момент інерції кільця радіуса R: .

Робота змінної сили F =f(s):

, (Д3.6)

де - проекція сили на напрямок переміщення точки прикладення сили.

Робота постійної сили :

, (Д3.7)

де - кут між силою і напрямком переміщення точки прикладення сили.

Робота пари сил з моментом :

, (Д3.8)

де - кут повороту тіла. Знак „+” беремо, якщо момент М і кут однаково спрямовані, та „ – ”, якщо вони спрямовані протилежно.