Приклад Д-2

Механічна система (рис.Д2. а) складається з вантажу 1, ступінчастих шківів 2 і 3 (маса шківів рівномірно розподілена по зовнішніх ободах) та однорідного циліндричного котка 4.Тіла зв’язані між собою нерозтяжними нитками, намотаними на шківи. Горизонтальна площина гладенька, коток котиться без ковзання.

Система рухається під дією сили . При русі на шків 2 діє постійний момент сил опору . Визначити силу натягу нитки, що утримує вантаж 1.

Дано:

m₁ = 4 кг, m₂ = 3 кг,

m₃ = 5кг, m₄ =2кг,

R₂ = 0,2м, r₂ = 0,1м,

R₃ = 0,3м, r₃ = 0,1м,

M _оп= 0,6 Нм, F = 200H.

Визначити: силу натягу нитки, що утримує вантаж 1.

Розв’язування.

Розглянемо рух незмінної механічної системи, що складається з тіл 1, 2, 3 і 4. Система рухається під дією сили . В залежності від цього покажемо напрямок прискорень всіх тіл системи.

Для того, щоб застосувати динамічні рівняння руху тіл, роз’єднаємо систему на окремі тіла та зобразимо їх вільними (рис.Д2.б,в,г,д). Зобразимо активні сили, діючі на тіла. В’язі, накладені на тіла, замінимо їх реакціями. Реакції ниток, що з’єднують тіла, покажемо вздовж ниток у напрямку від тіла (бо нитки розтягнуті). Згідно із законом рівності дії та протидії маємо:

Вибираємо системи координат для кожного тіла так, щоб проекції прискорень на обрані осі були додатними.

Розглянемо тіло 1 (рис.Д2.б). На нього діють: рушійна сила ; сила ваги ; реакція площини та сила реакції нитки , що з’єднує тіла 1 і 2 (подвійні індекси треба читати як сила, діюча з боку тіла 2 на тіло 1). Вибираємо систему координат таким чином, щоб прискорення збігалося б за напрямом з віссю .

Розглянемо тіло 2 (рис.Д2.в). На нього діють: момент опору ; сила ваги ; реакція підшипника ; сили реакцій ниток та , що з’єднують тіло 2 з тілами 1 і 3. Вісь обертання спрямуємо від нас за напрямком вектора кутового прискорення .

Розглянемо тіло 3 (рис.Д2.г). На нього діють: сила ваги ; реакція підшипника ; сили реакцій ниток та , що з’єднують тіло 3 з тілами 2 і 4. Вісь обертання спрямуємо від нас за напрямком вектора кутового прискорення .

Розглянемо тіло 4 (рис.Д2.д). На нього діють: сила ваги ; реакція площини (по якій котиться коток без ковзання) розкладається на дві складові: нормальну , перпендикулярну до площини, і силу зчеплення , яка спрямована вздовж площини; та сила реакції нитки , що з’єднує тіло 4 з тілом 3. Вибираємо систему координат таким чином, щоб прискорення збігалося за напрямом з віссю , вісь обертання спрямуємо від нас за напрямком вектора кутового прискорення .

Запишемо динамічне рівняння руху кожного тіла, що входить до системи.

Для тіла 1: (2.1)

Для тіла 2: (2.2)

Для тіла 3: (2.3)

Для тіла 4: (2.4)

(2.5)

Систему рівнянь (2.4) і (2.5) замінимо одним, виключивши з них :

(2.6)

Силу реакції нитки можна знайти з рівняння (2.1). Для цього треба знати, з яким прискоренням рухається тіло 1. Прискорення будь якого тіла можна знайти з динамічного рівняння руху механічної системи, яке можна отримати з рівнянь (2.1) - (2.3) і (2.6), виключивши з них сили реакції ниток. Спочатку з’єднаємо рівняння (2.1) і (2.2).

Ураховуючи, що , помножимо рівняння (2.1) на та додамо до рівняння (2.2), отримаємо:

(2.7)

Враховуючи, що маємо з рівнянь (2.3) та (2.7):

(2.8)

Остаточно з рівнянь (2.8) та (2.6), враховуючи, що , отримаємо динамічне рівняння руху механічної системи:

(2.9)

Щоб визначити прискорення вантажу 1, виразимо всі прискорення тіл системи через :

(2.10)

Моменти інерції визначимо за формулами:

(2.11)

Підставимо (2.10) і (2.11) в (2.9) та винесемо прискорення за дужки:

(2.12)

Підставимо числові значення та знайдемо прискорення вантажу 1:

З рівняння (2.1) знайдемо силу реакції нитки, що утримує вантаж 1:

Відповідь: