Тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью (рис. 17).

Рис. 17. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Из теоремы об изменении кинетического момента (4.23^/), имеем

.

При вращении твёрдого тела, вокруг неподвижной оси Oz кинетический момент определяется по формуле , учитывая это, получим

.

Из кинематики твердого тела известна зависимость

,

где - угол поворота тела относительно неподвижной оси Oz.

Окончательно получим

,

. (4.27)

Выражение (4.27) представляет собой дифференциальное уравнение вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Это уравнение полностью аналогично уравнению поступательного движения твердого тела (4.17^/). В уравнении (4.27) момент инерции I_z является аналогом массы , играет роль линейного ускорения , а сумма моментов внешних сил играет роль главного вектора внешних сил .

Под действием системы внешних сил в подпятнике А и подшипнике В возникнут реакции и , эти реакции тоже являются внешними силами, но их моменты относительно оси вращения Oz равны нулю, так как их линии действия пересекают эту ось, поэтому при составлении дифференциальных уравнений вращательного движения эти реакции можно не учитывать.

Дифференциальное уравнение (4.27) позволяет решать две основные задачи, которые аналогичны первой и второй задачам динамики точки. Рассмотрим формулировки этих задач.

1. Первая задача. По заданному закону вращения и известному моменту инерции твердого тела относительно оси вращения требуется определить момент внешних сил относительно этой оси.