Расстояние от точки до плоскости. Нормированное уравнение плоскости

Пусть плоскость задана уравнением (4.6), а точка пространства своим радиус-вектором . Расстояние от точки до плоскости равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 9).

Рис. 9. Расстояние от точки до плоскости

Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов, а площадь его основания равна модулю векторного произведения . Отсюда

(4.11)

Для каждого вектора , нормального к плоскости, можно так выбрать направляющие векторы и , чтобы . Поэтому при любом нормальном векторе имеем

(4.12)

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат

, , .

Тогда и (4.12) примет вид

(4.13)

где .

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат плоскость , заданную уравнением

(4.14)

Пусть – радиус-вектор некоторой точки пространства, – радиус-вектор точки , являющейся проекцией точки на плоскость . Так как точка принадлежит плоскости , ее координаты удовлетворяют уравнению (4.14), т. е.

(4.15)

Вектор параллелен нормальному вектору . Тогда

Отсюда

Используя (4.15), получим

(4.16)

Уравнение

получаемое из (4.14) делением на , называют нормированным уравнением плоскости. Его удобно использовать для нахождения расстояния от точки до плоскости. Достаточно найти модуль левой части этого уравнения при подстановке .