Решения

1) расходится, т.к. (выполнен необходимый признак сходимости).

2) – расходится, т.к. не существует (то есть точно, значит, выполнен необходимый признак сходимости).

3) – расходится, т.к. .

4) , ряд может сходиться, но может и расходиться. Необходимый признак сходимости ответа не дал. Пробуем применить какой-либо из достаточных признаков, например, признак сравнения. Для этого сравним наш ряд с рядом , про который уже известно, что он расходится (это гармонический ряд, см. таблицу «эталонные ряды»).

Очевидно, что при выполняется следующее соотношение

.

Меньший ряд расходится, следовательно, расходится и больший ряд .

5) – ряд сходится, т.к. при , а ряд – сходится как обобщенный гармонический с показателем .

6) – ряд сходится, т.к. , а ряд – сходится как обобщенный гармонический с показателем .

7) – ряд сходится, т.к. при , а ряд – сходится как геометрический при .

8) – ряд расходится, т.к. члены его для достаточно больших n эквивалентны членам обобщенного гармонического ряда:

,

а ряд – расходится (показатель ). Применили 2-ой признак сравнения (предельный).

Итак: = – расходится как обобщенный гармоничский с показателем .

9) . Здесь уместно применить признак Даламбера.

, .

= = = – ряд расходится.

10) . По признаку Даламбера

= = = =

= = = =(по 2-му замечательному пределу)= = = = исходный ряд сходится.

11) . Применяя признак Даламбера, можно предварительно упростить выражение для общего члена ряда, оставля только главные члены. В знаменателе оставим 2ⁿ, т.к. показательная функция «растет быстрее», чем линейная функция . В числителе оставим . Получаем:

.

Найдем = = = – ряд сходится.

12) . По признаку Коши (радикальному):

= = = ряд расходится.

13) . Применим интегральный признак Коши. Для этого найдем несобственный интеграл. Для этого сначала найдем соответствующий неопределенный интеграл:

= =

= = – интеграл и вместе с ним исходный ряд расходятся.

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд с заданным (под номером N₂) общим членом , если:

1) ; 2) ; 3) .