Решения. 1.Так как х0=1, то разложение будет по степеням (х-1), поэтому преобразуем исходную функцию следующим образом:

1) , х₀=1.

1.Так как х₀=1, то разложение будет по степеням (х-1), поэтому преобразуем исходную функцию следующим образом:

= = .

Теперь обратимся к таблице «Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций». В стандартном разложении функции заменяем х на .

Получаем:

Полученный ряд умножаем на :

= = .

2. Определим радиус сходимости полученного ряда.

Известно, что ряд (это ряд для функции ) сходится при .

В нашем случае: . Откуда получаем – интервал сходимости, то есть ряд сходится на всей числовой оси.

2) , х₀=-3.

1. Подготовим функцию к разложению по степеням (х+3) и воспользуемся уже «готовым» разложением в ряд Маклорена функции .

.

2. Определим радиус сходимости полученного ряда.

Известно, что ряд (это ряд для функции ) сходится при . В нашем случае , тогда . Решая, получаем: . Итак, интервал сходимости: . Радиус сходимости равен 1.

3) , х₀=4.

1. = = = .

Используем биномиальный ряд. В нашем случае . Получаем:

=

2. Определим радиус сходимости полученного ряда.

Как известно, биномиальный ряд сходится при . Получаем:

.

Итак, интервал сходимости: . Радиус сходимости равен 4.

4) , х₀=3.

1. Преобразуем исходную фнкцию следующим образом:

. Теперь в разложении функции заменим х на и к результату прибавим . Получаем:

= .

2. Определим радиус сходимости полученного ряда.

Ряд для функции сходится при . Значит, наш ряд сходится при . Решая это неравенство, получаем интервал сходимости: . Радиус сходимости равен 3.

5. Вычислить приближенное значение (заданной под номером N₅) функции в данной точке х, используя разложение этой функции в ряд Маклорена и, отбросив все слагаемые, начиная с х⁶. Результат округлить до 10^-3 и сравнить с точным значением функции, вычисленным непосредственно или при помощи таблиц, если:

1) , ;

2) , .