Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим функцию:

Th.1 Пусть:

1. g(x) определена в , функция f(t) определена в , где .

2. g(x) дифференцируема в точке (т.е. ).

3.

Тогда :

(1)

Доказательство:

а) пусть n=1. g(x) дифференцируема в точке

, . Причем

.

Пусть при :

(*)

Т.к. непрерывна в точке при

. Кроме того

= переходим к пределу в (*) при :

б) n>1. Это частный случай пункта а), т.к. рассматриваемая функция т.е. имеем y=g(x).

, т.к. ч. и т. д.

Выпишем формулу (1) для всех частных случаев: n=1, k=2:

ПРИМЕР.

.

n=2, k=2:

Пусть , где

ПРИМЕР.

.

df.1 Пусть ,

и удовлетворяет условиям Th.1 в точке . Тогда

- полная производная.

Доказательство формулы следует из Th.1 при . При .

Th.2 (Инвариантность формы записи первого дифференциала)

Пусть y=g(x) – дифференцируема в точке - дифференцируема в точке

1. Сложная функция y=g(x(t))=F(t) – дифференцируема в точке .

2. (Б/Д).

ЗАМЕЧАНИЕ.

Пусть функция f(x), дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества . Тогда в каждой точке можно вычислить дифференциал: .

Он будет функцией 2n переменных причем при

фиксированных дифференциал есть линейная функция . Правила дифференцирования такие же, как и для функции одной переменной.

а)

б)

в) , если .

Докажем б).

Из Th о дифференцируемости сложной функции следует, что функция

U(x)V(x) дифференцируема, если дифференцируемы U(x) и V(x). Далее имеем: =

= .

ПРИМЕР.

Найти дифференциал функции .

Решение. Пусть , тогда: