Высших порядков

Пусть дана функция . Определенные ранее частные производные называют также частными производными первого порядка.

Пусть теперь для -ет частная производная по в точке . Тогда называют частными производными второго порядка.

Аналогично. Частной производной порядка называется частная производная (по любой переменной ) от частной производной порядка .

Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной.

Например: и т.д.

Пусть , т.е. - определена в некоторой области E. - также являются функциями двух переменных и определены в области E или ее части.

Частные производные по x и y от функций в точке (x,y) если они существуют, называются частными производными второго порядка в точке (x,y) и т.д.

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка.

Для функции , f определена в области E, z=f(x,y) –частные производные третьего порядка определяются формулами:

ПРИМЕР.

.

Имеем: , , , .

В этом примере смешанные частные производные равны друг другу. Вообще говоря, значения смешанных производных зависит от порядка, в котором производится последовательные дифференцирования.

Нетрудно заметить, что число частных производных с увеличением порядка возрастает. Однако, некоторые из них при наличии условий совпадают.

Th.1 Пусть определена вместе со своими частными производными в окрестности до порядка ”m”.

Пусть смешанные частные производные m -го порядка непрерывны в точке .

Тогда смешанные частные производные порядка ”m” не зависят от порядка дифференцирования. (Б/Д).

Следует отметить, что это условие достаточное.

Перефразируем Th.1 для случая функции двух переменных.

n=2 m=1:

Пусть определены в точке непрерывны в точке . Тогда, частные производные . (Б/Д).

df.1 Пусть имеет на G непрерывные частные производные до порядка ”m” включительно. Это обозначаем: .

ПРИМЕР.

.

.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Пусть и f дифференцируема в окрестности точки . Рассмотрим дифференциал:

- это дифференциал первого порядка.

Вторым дифференциалом функции f в точке называется дифференциал от первого дифференциала при условиях:

1) дифференциалы независимых переменных при вычислении вторых дифференциалов остаются постоянными.

2) И старые приращения равны новым приращениям независимых переменных. Обозначение:

df.2 Дифференциалом порядка “m” функции f в точке

называется дифференциал от дифференциала порядка “m-1” при тех же предположениях, что и в предыдущем определении.

Th.2 Пусть функция , тогда :

(Б/Д).

СЛЕДСТВИЕ.

(n=2) Пусть , тогда :

, где

(Б/Д).

В частности если функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то, воспользовавшись теоремой о равенстве смешанных производных, получаем:

= .

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если ввести формально дифференциальный оператор:

(1)

то выражение для дифференциалов можно записать в удобной символической форме:

Под произведением дифференциальных операторов понимается их последовательное применение. Например, если , то

(2)

; При применении дифференциальных операторов вида (1) нужно пользоваться правилом (2). При этом дифференциалы независимых переменных перемножаются как вещественные числа.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Для дифференциалов высших порядков инвариантность формы записи не сохраняется.

Th.3 (Формула Тейлора)

Пусть функция

Справедлива формула Тейлора:

, где .

Следует иметь ввиду . (Б/Д).

Если n=2 , тогда справедлива формула Тейлора:

+ .

. Если - в форме Пеано.

Следует иметь ввиду: , где

.