Основные понятия. Пространство

ГЛАВА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРОСТРАНСТВО.

I. (1) Рассмотрим множество действительных чисел .

○ ● ●

0

M и x – отождествлены.

Расстояние между точками равно:

(1)

Множество вещественных чисел с расстоянием (метрикой) (1) называются пространством .

В терминах расстояния предел последовательности можно перефразировать так:

(2)

т.е. (3)

(●)

- окрестность точки .

Рассмотрим обобщение пространства . В тех случаях, когда точки M лежат на плоскости или в пространстве.

II. (2) Пространство .

Рассмотрим множество точек плоскости и введем систему координат.

y

●

●

○ x

Пусть и , тогда расстояние между ними:

(4)

Множество точек плоскости с расстоянием (4) называется пространством .

В этом пространстве естественными являются понятия:

df.1 - окрестностью точки в плоскости называется внутренность круга с центром в точке и радиуса .

y

0 x

df.2 Точка называется внутренней точкой этого множества, если окрестность этой точки содержит только точки, принадлежащие данному множеству (рис.1).

df.3 Если в - окрестности точки содержатся точки как принадлежащие D, так и не принадлежащие этому множеству, то такая точка называется граничной (рис.1).

y

M

D

0 x

рис.1

ЗАМЕЧАНИЕ.

Совокупность всех граничных точек области D называется ее границей, и обозначают ее .

df.4 Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними относительно D.

Пример.

1) 2)

y

x

D

df.5 Множество G называется связным, если две любые точки данного множества можно соединить кривой, все точки которой данному множеству.

Несвязное

Связное G

D

df.6 Множество называется ограниченным, если его можно поместить внутри круга конечного радиуса с центром в начале координат.

Ограниченное Неограниченное

R=M R=M

D D

df.7 Областью называется всякое связное открытое множество точек D.

df.8 Всякая область D с присоединенной к ней границей () называется замкнутой областью и обозначается через .

III. (3) Пространство .

Все определения пункта II (2) связаны с понятием и свойствами расстояния между точками на плоскости ХОУ; при этом конкретное выражение для расстояния нигде не появлялось.

Основным было понятие окрестности точки.

Будем рассматривать n чисел, которые называются точками:

(другими словами n – мерные векторы), ()

В этой совокупности введем понятие расстояния (метрики), обобщающее (4).

Пусть , тогда

df.9 Расстояние (метрикой) между точками называется число:

(5)

df.10 Это множество точек с расстоянием (5) называется пространством . Пространство становится метрическим, если ввести метрику одним из равенств:

ЗАМЕЧАНИЕ.

При n=2 мы получаем пространство . При n=3 мы получаем трехмерное пространство с обычным (евклидовым) расстоянием.

Все определения предыдущего пункта дословно переносятся на .

Так, например, - окрестность точки это есть:

df.11 n- мерной сферической -окрестностью данной точки (или открытым шаром радиуса с центром в этой точке) называется множество всех точек с координатами, удовлетворяющими неравенству:

или .

df.12 Предельной точкой данного множества D точек пространства называется такая точка , в любой окрестности которой имеется хотя бы одна отличная от точка M этого множества.

df.13 , в – предельная точка A .

df.14 (замыкание множества A), если содержит все предельные точки множества A.

df.15 A – замкнутое . Очевидно, что A содержит внутренние (предельные) и граничные точки .