Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Монотонные последовательности
Определение. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех n справедливо неравенство . Если выполняются строгие неравенства , то последовательность называется возрастающей (убывающей). Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называются монотонными. Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо снизу. А именно: невозрастающая последовательность ограничена сверху (своим первым элементом x1), а неубывающая последовательность ограничена снизу (также элементом x1). Если же невозрастающая последовательность ограничена еще и снизу, то она является ограниченной с двух сторон. Точно так же неубывающая последовательность, ограниченная сверху, ограничена с двух сторон.
Теорема. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу) числом M(m), то она имеет предел a, причем . С учетом только что сделанных замечаний эту теорему можно сформулировать так: если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, то она сходится.
Доказательство: Ограничимся доказательством для неубывающей последовательности . Докажем, что пределом такой последовательности является точная верхняя грань . Поскольку – точная верхняя грань множества элементов последовательности , то для любого можем указать элемент xN такой, что и . Сопоставим эти неравенства и получим . Т.к. – неубывающая последовательность, то при N . Таким образом, при N выполняются неравенства и так как , то эти неравенства записываются в виде , т.е. . Итак, доказано, что число – предел последовательности .
Замечание. Отметим, что для монотонных последовательностей ее элементы приближаются к пределу с одной стороны. Так, для неубывающей последовательности , пределом которой является , для всех n справедливо неравенство . Для немонотонных последовательностей возможно приближение к пределу с обеих сторон. Пример мы уже имели: Очевидно, , но знаки элементов этой последовательности чередуются.
Следствие из теоремы (принцип вложенных отрезков). Пусть дана бесконечная система отрезков каждый следующий из которых содержится в предыдущем, т.е. . Пусть разность (длина отрезка ) стремится к нулю при . Тогда существует, и притом единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам этой системы.
Доказательство: Очевидно, последовательность левых концов отрезков является неубывающей, а последовательность правых концов – невозрастающая. Поскольку обе эти последовательности ограничены (все элементы последовательностей и находятся на отрезке ), то обе они сходятся. Из того, что разность вытекает, что обе эти последовательности имеют общий предел С. Тогда ясно, что , т.е. точка С принадлежит всем сегментам . Утверждение доказано.
Число e. Прежде, чем дать определение числа e (основания натуральных логарифмов), играющего важную роль в математике, напомню вам формулу бинома Ньютона. Речь идет о возведении двучлена (a+b) в любую натуральную степень n. Если n=1, то ; n=2, то ; n=3, то ; Т.к. , можно получить формулу . В общем случае справедлива формула, носящая название бинома Ньютона: Рассмотрим последовательность На основании формулы бинома Ньютона: Отсюда видно, что все члены положительны, так что С другой стороны, заменив каждую скобку единицей, мы увеличим это выражение так, что: . Теперь заметим, что
т.е. при . Если все знаменатели заменить на , то правая часть только возрастет. Таким образом,
Таким образом, при всех n. Теперь покажем, что – возрастающая последовательность. Сравнивая эти выражения, заметим, что в выражении для на одно положительное слагаемое больше, чем в выражении для . Кроме того, во вторых слагаемых в третьих слагаемых и т.д.. Таким образом, каждое слагаемое в меньше соответствующего слагаемого в . Итак, , т.е. последовательность – возрастающая. Поскольку она ограниченная, следовательно, сходится к некоторому пределу e, причем e – иррациональное число, – выражается бесконечной не-периодической дробью. Таким образом, .
|