Непрерывность функции в точке

После введения понятия предела функции легко определить непрерывную функцию.

Определение.

Функция , определенная в некоторой окрестности , называется непрерывной в этой точке, если

.

Рассмотрим 3 графика:

(1)

(2)

(3)

Графики отличаются только значением . В первом случае функция вообще не определена в точке , поэтому говорить о непрерывности не приходится. Во втором случае функция определена при , но – функция не является непрерывной. И только в третьем случае и функция непрерывна.

Замечание.

Если в первом случае доопределить таким образом, что , то функция становится непрерывной. Т.е. случай (1) совпадает с (3). Если же такого доопределения нет, то эти случаи различны.

Согласно определению предела функции в точке это определение эквивалентно следующему.

Определение.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и для

любого >0 существует такое , что для всех x, для которых , имеет место неравенство

Это определение (на языке ) позволяет дать следующую наглядную геометрическую интерпретацию для непрерывной функции. Рассмотрим график функции , непрерывной в точке x = .

Так как из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек x, отстоящих от не далее, чем на , точка М графика непрерывной функции лежит внутри полосы шириной (заштрихована), ограниченной прямыми и . Мы можем потребовать, чтобы ширина этой полосы была как угодно малой; для непрерывной функции всегда найдется соответствующее , определяющее – окрестность точки x = .

Можно дать определение и на языке последовательностей.

Определение.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и для любой последовательности .