II. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя

Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и j(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х ₀ и j ¢(x)¹0, " х ÎO_d(х ₀), (x ¹ x ₀). Тогда, если f(x) = j (x) =0 ( f (x)= j (x)=¥) и существует , то

- предел отношения б.м.ф. (б.б.ф.) равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания:

1. Теорема Лопиталя применима, если имеет место неопределенность [0/0], [¥/¥] при х®х₀. Теорема верна и в случае, когда х®¥.

2. Если производные f¢(x) и j¢(x) удовлетворяют условиям теоремы (отношение представляет неопределённость [0/0], [¥/¥]), то теорему можно применить второй раз: = = и т.д.

Неопределенности [0×¥], [¥ - ¥]. С помощью алгебраических преобразований приводятся к виду [0/0], [¥/¥].

Неопределенности [1^¥], [¥⁰], [0⁰]. С помощью логарифмирования приводятся к виду [0×¥]. При этом используется соотношение, основанное на свойствах логарифмов и непрерывности показательной функции

Задачи

1. Проверить, удовлетворяет ли функция f(x) на данном отрезке условиям теоремы Ферма. Найти соответствующее значение х ₀, если оно существует

.