Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка y' = ¦(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

В частности, при ¦₂(y) º 1 имеем простейшее уравнение

Из теории неопределённого интеграла следует, что решение этого уравнения может быть записано следующим образом:

y = + C.

(2.2)

Очевидно, если число а является решением уравнения ¦₂(y) = 0, то функция y = a (постоянная) является решением уравнения (2.1). Для тех y, для которых ¦₂(y) ¹ 0, уравнение (2.1) равносильно уравнению:

.

(2.3)

В этом уравнении переменная y присутствует только в левой части, а переменная x – в правой части. В дифференциалах уравнение (2.3) имеет вид:

.

(2.3а)

Каждая часть этого уравнения представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной на дифференциал этой переменной. Его называют уравнением с разделёнными переменными.

Интегрируя почленно, получаем общее решение уравнения (2.1):

, или , где С = С ₂ – С ₁ –постоянная.

Итак, для нахождения решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными следует:
1)разделить переменные;
2) интегрируя уравнение с разделёнными переменными, найти общее решение данного уравнения;
3) выяснить, имеет ли уравнение решения, не получающиеся из общего интеграла;

4) найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если это требуется).

Пример 1. Найти все решения дифференциального уравнения y' = xy ².

D Очевидно, что y = 0 является решением данного уравнения.

Пусть теперь y ¹ 0. Тогда и, следовательно,

Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид , где . Заметим, что решение y = 0 не получается из общего решения ни при каком значении постоянной C. Ñ

Пример 2. Найти частное решение уравнения y' =2 + y, если y (0) = 3.