Айналмалы қозғалыстағы дене нүктелерінің жылдамдығы мен үдеуі

Дене уақытта бұрышқа бұрылсын делік. Осы кезде айналу өсінен h қашықтықта жатқан нүкте жол жүріп өтеді. 5ә-суретте Oz өсін айналатын дененің М нүктесі сызатын шеңбер бейнеленген. Осы нүкте жылдамдығының жанама өске проекциясын былай жазуға болады:

. (14)

Бұл жерде шеңбер доғасының ұзындығы оның радиусы мен осы доғаны керетін бұрыштың көбейтіндісіне тең екендігі ескерілген, яғни . Сонда нүкте жылдамдығының шамасы (сызықтық жылдамдық) дененің бұрыштық жылдамдығының модулі мен осы нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісі ретінде анықталады:

. (15)

Нүкте жылдамдығының векторы шеңберге жанама бойымен (5-сурет) бұрыштық жылдамдық бағытына қарай бағытталады.

М нүктесі жылдамдығының векторын бұрыштық жылдамдықтың векторы мен осы нүктенің радиус-векторының векторлық көбейтіндісі арқылы да жазуға болады (5 а -сурет):

. (16)

М нүктесінің үдеуін анықтау үшін оның (16) жылдамдығы векторынан уақыт бойынша туынды алу керек:

.

, ал екенін ескерсек:

. (17)

(17) өрнектің бірінші қосылғышын нүкте үдеуі векторының айналмалы құраушысы деп атап, былай белгілейміз:

,

ал екінші қосылғышын центрге тартқыш құраушысы деп атап, былай белгілейтін боламыз:

.

Сонымен, айналмалы қозғалыстағы дененің Мнүктесі үдеуінің векторы оның айналмалы және центрге тартқыш құраушыларының геометриялық қосындысына тең екен:

. (18)

а) ә)

5-сурет

М нүктесі үдеуінің құраушыларының абсолют шамалары нүктенің айналмалы және центрге тартқыш үдеулері деп аталады. 5 а) суреттен болғандықтан, екі вектордың векторлық көбейтіндісінің модулін анықтау ережесі бойынша

,

демек нүктенің айналмалы үдеуі бұрыштық үдеу мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең екен:

. (19)

Дәл осылай центрге тартқыш үдеу үшін де

(15) өрнегін ескерсек, нүктенің центрге тартқыш үдеуі бұрыштық жылдамдық квадраты мен нүкте сызатын шеңбер радиусының көбейтіндісіне тең болады:

(20)

Векторлардың векторлық көбейтіндісінің ережесі бойынша анықталған векторы шеңберге жанама бойымен бұрыштық үдеудің бағытына қарай, ал векторы – шеңбер радиусымен айналу өсіне қарай бағытталады (6-сурет). 6-суреттен нүктенің толық үдеуінің шамасын анықтаймыз:

. (21)

Нүктенің толық үдеуінің векторы М нүктесі сызатын шеңбер радиусымен бұрышын құрайды. Бұл бұрыштың тангенсі (6-сурет):

немесе (19) пен (20) өрнектерін ескере отырып мынаны аламыз:

. (22)

Өзіндік бақылау сұрақтары:

1. Қатты дененің ілгерілемелі қозғалысының анықтамасы.

2. Ілгерілемелі қозғалыстағы дене нүктелерінің траекториясы, жылдамдығы мен үдеуі туралы теорема.

3. Қатты дененің айналмалы қозғалысының анықтамасы. Айналу өсі.

4. Айналу бұрышы мен айналу саны, бұрыштық жылдамдық пен айналу жиілігі арасындағы байланыстар.

5. Айналмалы қозғалыстағы дененің бұрыштық жылдамдығы мен бұрыштық үдеуі. Олардың алгебралық және векторлық шамалары.

6. Айналмалы қозғалыстағы дененің кез келген нүктесінің сызықтық жылдамдығы және оның шамасы мен бағытын анықтау.

7. Айналмалы қозғалыстағы дененің кез келген нүктесінің үдеуі.

8. Нүктенің айналмалы және центрге тартқыш үдеуінің анықтамасы және олардың шамасы мен бағытын анықтау.