Принцип возможных перемещений. Геометрический вариационный принцип. Вариационный принцип Лагранжа

Основным понятием, используемым ниже, является понятие работы внешних и внутренних сил при деформации тела.

Пусть заданы на граничной поверхности, следующие векторные соотношения:

– вектор полного напряжения и его компоненты по осям координат.

– вектор полных граничных перемещений и его компоненты по осям координат.

Совместный учёт граничных напряжений и перемещений позволяет выразить работу на граничной поверхности или работу поверхностных сил:

.

В результате этих внешних воздействий возникают напряжений и деформации по объёму тела, которые характеризуются и . Работа внутренних сил составляет:

.

По закону сохранения энергии сумма всех внутренних сил равна сумме работ всех внешних сил. .

Существует три вида полей перемещений (деформаций).

1. Кинематически возможные поля перемещений это такие поля перемещений, которые удовлетворяют граничным условиям: закрепления деформируемого тела и сплошности среды (неразрывности деформации). Для каждого конкретного случая существует множество кинематически возможных полей перемещений.

2. Действительные поля перемещений отличаются от кинематически возможных тем, что они удовлетворяют условию равновесия тела. Такое поле единственное.

3. Виртуальные поля перемещений . Их множество. Они характеризуют отличие кинематически возможных полей от действительного:

.

Принцип Лагранжа Принцип экстремума энергии или работы деформации.

Сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях относительно состояния равновесия равна нулю, если система находится в равновесии. Такими возможными перемещениями являются виртуальные перемещения.

Работа внутренних сил на виртуальных перемещениях:

.

Работа поверхностных сил на виртуальных перемещениях:

Принято допущение о том, что варьирование деформаций (перемещений) не влияет на напряжения (при варьировании их можно рассматривать как постоянные).

– вариационное уравнение, которое выражает принцип Лагранжа.

Первая вариация полной работы (энергии) деформации равна нулю. Физический смысл: действительное поле перемещений отличается от множества кинематически возможных тем, что доставляет минимум полной энергии деформации, математически это необходимое условие экстремума энергии деформации. Достижение экстремума полной энергии деформации является показателем того, что действительное поле найдено.