Наиболее часто встречающиеся в оптике специальные функции в связи с применением теории систем и преобразований

Прямоугольная функция

sinc – функция или ядро Фурье

круговая функция

Фурье-образом rect(x) является sinc(хa), а Фурье-образом

где J1(x) – функция Бесселя первого рода первого порядка. Функция

широко используется в оптике в связи с дифракцией света на круглом отверстии. Она получила специальное название – сомбреро, что соответствует характерному виду описываемой ее в пространстве поверхности.

32.Пространственная когерентность излучения. Поперечная структура реальных лазерных пучков имеет случайный характер, что обусловлено целым рядом естественных причин: спонтанные шумы, статистика многих поперечных мод.

Рис. 7.1. Причины случайного характера поперечной структуры реальных лазерных пучков

Чем же определяются характерные масштабы поперечных корреляций лазерного излучения? Предположим, что возбуждаемые в лазере моды с различными поперечными индексами m и n вырождены по частоте, тогда многомодовое излучение можно записать следующим образом

где A_m,n и ϕ_m,n - не зависящие от времени комплексные амплитуды и фазы мод, z - координата вдоль направления распространения пучка, отсчитываемая от области перетяжки.

Распределение амплитуд A_m,n зависит от типа оптического резонатора и формы зеркал.

Наиболее простой вид распределения амплитуды Am,n имеют для плоскопараллельного резонатора (случай прямоугольных зеркал)

где β, комплексный параметр, зависящий от базы резонатора и апертуры зеркал.

Аналогичный вид имеет функция f_n(y).

Для пространственной поперечной корреляционной функции на выходе резонатора по определению имеем:

В случае статистически независимых фаз ϕm,n поперечных мод

Рассчитаем корреляционную функцию вблизи центра пучка (r = 0), смещение s зададим вдоль оси x и будем считать, что возбуждаются поперечные моды с индексами от m = 1 до m = N_⊥.

Пусть N_⊥ нечетно и коэффициенты h_m,n - одинаковы, тогда для пространственной поперечной корреляционной функции получим

При большом числе поперечных мод N >> 1, модуль степени пространственной когерентности равен

Модуль степени пространственной когерентности является квазипериодической функцией. В реальных случаях база резонатора L много больше характерного размера зеркал a (L >> a), а число Френеля (ka² / 2πL) ≥1.

С учетом этого условия, радиус корреляции r_k ≈ a / N_⊥.

Таким образом, для многомодовых лазерных пучков, возбуждаемых в плоскопараллельном резонаторе с прямоугольными зеркалами радиус корреляции обратно пропорционален числу возбуждаемых поперечных мод N_⊥.

Но это соотношение можно использовать лишь для грубых оценок. Отличия от эксперимента могут быть связаны с неоднородностями активной среды, неравномерностью распределения интенсивностей по модам.

Приближенный расчет радиуса корреляции лазерного поля со статистически независимыми модами можно выполнить и другим способом - оценивая средний размер неоднородности по возбуждаемым модам, который в соответствии с выражением для распределения амплитуды моды по половинному уровню можно оценить как rm ≈ 2a ⁄ m.

Для плоского резонатора получим r_k ≈ 2a ln N_⊥/N_⊥.

Таким образом, данное выражение, которое получается исходя из поперечной неоднородности лазерного пучка, дает практически такую же зависимость, что и предыдущее.

При наличии неоднородностей внутри резонатора даже для плоскопараллельного резонатора более адекватной оказывается модель сферического резонатора.

Аналогичным способом, исходя из масштаба радиальных неоднородностей можно найти радиус корреляции для сферического резонатора

Рис. 7.3. Распределения интенсивности в поперечном сечении для сферического резонатора с радиусом зеркала а