Представление поля в дальней зоне через интеграл Фурье

В когерентной оптике преобразование Фурье имеет реальную физическую интерпретацию. Оно описывает дифракцию Фраунгофера при прохождении когерентного пучка через оптическую систему с достаточно малой угловой апертурой. Действительно, любая дифракционная оптическая система с помощью когерентных волн кроме изображения объекта, определяемого законами геометрической оптики ставит ему в соответствие двумерный Фурье- образ на плоскости, определяемый законами дифракции.

Рис. 2.1. Условия наблюдения дифракции Фраунгофера: а. Дальняя зона b. Фокальная плоскость с. Сходящаяся волна

Дифракция Фраунгофера наблюдается, если выполняется условие дальней зоны: H >> D ₂/λ; в фокальной плоскости оптической системы; в плоскости схождения волны (рис. 2.1).

Одно из основных преимуществ использования дифракции Фраунгофера - инвариантность к положению объекта дифракции относительно плоскости регистрации. В данном случае это означает, что независимо от положения объекта в пучке лазера вид дифракционного распределения интенсивности в плоскости регистрации не изменяется.

34.Преобразование Фурье Анализ Фурье и теория линейных систем образуют фундамент, на котором построены теории формирования изображения, оптической обработки информации и голографии.

По определению преобразованием Фурье функции f (x) (действительной или комплексной) называется интегральная операция

.

Преобразование такого вида представляет собой функцию независимой переменной u, называемой частотой. Обратное преобразование Фурье функции F (u) записывается следующим образом

.

Необходимым условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функций f (x) и F (u), т.е. чтобы значения интегралов

были конечными. Функции, используемые в оптике, определены лишь на ограниченном интервале и для них это требование соблюдается всегда (переменные x и u называются сопряженными). Различия между прямым Фурье-образом и обратным Фурье-образом заключается в различных знаках, содержащихся в экспонентах выражений, а также в наличии множителя 1/2π в формуле обратного преобразования.

В литературе встречаются и другие определения преобразования Фурье, отличающиеся от приведенного здесь как знаком в экспоненте, так и численными коэффициентами, стоящими перед интегралом.

Аналогичным образом определяется и двумерное Фурье-преобразование.

Прямое

(1.1)

и обратное

Введем в выражении (1.1) обозначения u = x /λz; v = y/λz.

Величины u и v обычно называются частотами. Тогда выражение (1.1) примет вид

где

Отсюда видно, что выражение (1.1) с точностью до множителя представляет собой Фурье-образ распределения поля на поверхности σ как функцию пространственных частот u и v. Аналогичным образом можно преобразовать и выражение для сферической системы координат, введя обозначения

Большое распространение имеет и частный случай двумерного преобразования Фурье для функций, обладающих осевой симметрией, называемый преобразованием Фурье-Бесселя или преобразованием Ганкеля нулевого порядка. Если функция обладает осевой симметрией ее можно записать как функцию только радиуса r. Соответственно, Фурье-образ становится функцией ρ, не зависящей явно от угла ϕ.

где J ₀(2π r ρ) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Учитывая, что

прямое преобразование Фурье можно записать в виде суммы косинус - и синус - преобразований:

В общем случае функция F (u, v) комплексная, и мы можем записать

Спектр амплитуд и фаз записывается соответственно в виде

Действительная часть Фурье-образа всегда четная функция, мнимая часть Фурье-образа - всегда нечетная функция. Комплексность спектра означает сдвиг отдельных его составляющих по фазе.

35.Пространственная фильтрация Оптическая обработка изображения в противоположность построению изображения связана с вмешательством в процесс. Это вмешательство может осуществляться разными способами. Ее практическое применение основано на способности оптических систем выполнять общие линейные преобразования поступающих на вход данных.

Первое сообщение об экспериментах по сознательному воздействию на спектр изображения было опубликовано Аббе в 1873 году, а затем Портером в 1906 г. Целью этих экспериментов была проверка созданной Аббе теории формирования изображений в микроскопе и исследование пределов ее применимости.

Объектом исследования в экспериментах служила сетка из тонкой проволоки, освещаемая когерентным светом.

Рис. 3.4. Схема эксперимента Аббе-Портера

В задней фокальной плоскости линзы получается Фурье-спектр сетки, имеющей периодическую структуру. Различные Фурье-компоненты, прошедшие через линзу, суммируясь, дают в плоскости изображения точную копию решетки. Помещая в фокальную плоскость различные препятствия (ирисовую диафрагму, щель, экран), можно непосредственно воздействовать на спектр изображения.

Фурье-спектр периодического предмета представляет собой набор отдельных спектральных компонент, ширина каждой из которых определяется характерным размером оправы, ограничивающей объект. Яркие пятна вдоль горизонтальной оси в фокальной плоскости соответствуют комплексным экспоненциальным компонентам, направленным горизонтально (рис. 3.5); яркие пятна вдоль вертикальной оси соответствуют вертикально направленным комплексным экспоненциальным компонентам. Вне осевые пятна соответствуют компонентам, направленным под соответствующим углом в плоскости предмета.

Если в фокальную плоскость поместить узкую щель так, чтобы через нее проходил только один ряд спектральных компонент, расположенных горизонтально (рис. 3.4), то изображение будет содержать только вертикальную структуру сетки

Следовательно, именно горизонтально направленные комплексные экспоненциальные компоненты дают вклад в вертикальную структуру изображения. При этом горизонтальная структура изображения полностью пропадает.

Если развернуть щель на 90о так, чтобы через нее проходил лишь вертикальный ряд спектральных компонент то получающееся изображение будет содержать только горизонтальную структуру

При пространственной фильтрации Фурье-спектра такой периодической структуры интересно наблюдать и еще ряд эффектов. Если на оси линзы в фокальной плоскости поместить маленький экран, закрывающий только центральный порядок, или компоненту «нулевой частоты», то мы получим изображение сетки с обращенным контрастом.