И теорема Котельникова

По своему происхождению дифракции и интерференция два различных понятия, что отразилось и в смысле слов, которыми их обозначили. Дифракция это дробление, разделение, разламывание, а интерференция это взаимное влияние, смешивание. Таким образом, если дифракция по своей функции это разделение, то интерференция это соединение, то есть эти два явления по своему проявлению суть противоположности.

Рассмотрение сущности этих явлений с точки зрения выявления их общности и различий нужно проводить на основании механизма взаимодействия света с веществом, поскольку все наблюдаемые оптические эффекты проявляются в результате взаимодействия света с веществом.

Все вещества состоят из атомов и молекул. И именно взаимодействие света с атомами и молекулами и определяет все наблюдаемые процессы.

Основные характеристики взаимодействия света с атомом, в частности повторное излучение без изменения частоты, можно получить заменой атома электронным осциллятором. Всякий раз, когда свет проходит через атом, находящийся в основном состоянии, в атоме возникают общие колебания таких же типов и силы, которые должны совершать осцилляторы в рассматриваемой модели при облучении их светом. Электронное облако каждого атома совершает колебания под действием света. Облако колеблется с частотой падающего света, и с амплитудой, соответствующей амплитуде колебаний в осцилляторной модели.

Именно эти колебания, амплитуда которых менее 10^{-17 м, и обеспечивают вторичное испускание света, в результате чего мы и видим все предметы.}

Движение осциллятора, облучаемого светом, является суперпозицией всех движений, которые он совершал бы при облучении совокупностью световых волн. Следовательно, для изучения поведения атомов под действием света достаточно лишь знать движение осцилляторов, возбуждаемое электрической волной определенной частоты и фазы.

Если на электронный осциллятор падает электромагнитная волна с частотой ω, то действие электрического поля проявляется как периодическая сила и приводит к появлению характеристических колебаний. Периодическое электрическое поле вызывает колебания осциллятора с частотой и фазой падающего поля ω, а не с собственной резонансной частотой ω₀. Амплитуда колебаний пропорциональна амплитуде внешней силы, а фазовая постоянная определенным образом связана с фазовой постоянной внешней силы.

Для неоднородного линейного уравнения, описывающего колебания осциллятора под действием внешней силы, справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что решение, соответствующее суперпозиции различных внешних сил, представляет собой суперпозицию отдельных решений.

При дифракции падающая (в общем случае одна) волна взаимодействует с “границей” вещества. На границе вещества атомы переизлучают падающую волну в разных направлениях – волна “разламывается”. При интерференции же волны (как минимум две волны) падают (взаимодействуют) на одни и те же атомы вещества, одновременно возбуждая их, причем каждая со своей фазой и амплитудой, а в общем случае еще и со своей частотой. Поэтому, при определенных соотношениях фаз падающих волн, атом (осциллятор) может возбуждаться резонансно и в этом случае интенсивность рассеянного излучения возрастает, а при каком-то другом соотношении фаз, возбуждаемые в атоме колебания взаимно гасятся и переизлученной волны не возникает. В первом случае мы наблюдаем (регистрируем) максимум интенсивности, а во втором минимум.

Таким образом, два, казалось бы, совершенно разных явления, оба обусловлены взаимодействием света с веществом.

. Центральное место в теории подобных сигналов занимает следующая теорема (в формулировке Котельникова): сигнал s(t), спектр которого s(ω) ограничен частотами ±Ω, может быть восстановлен полностью и без искажений по известным дискретным отсчетам данного сигнала s(t_n), взятым во временных точках , расположенных через равные интервалы времени , то есть, может быть представлен в виде ряда:

На практике частота 1/Δt обычно называется частотой дискретизации сигнала, а круговая частота ν_max = Ω/2π - несущей частотой. Таким образом, частота дискретизации оказывается равна 2ν_max, т.е. удвоенной несущей частоте.

Если отождествить протяженности сигнала во временном и частотном пространстве, входящие в соотношение неопределенности (5.1), с интервалом и частотой дискретизации, входящими в формулировку теоремы Котельникова, то можно сформулировать принципиально важное понятие информационной емкости спектрально-ограниченного сигнала.

Спектрально-ограниченный сигнал можно представить графически в виде области существования – прямоугольника на плоскости ωt, ограниченного предельной частотой Ω и временем T (возможен вариант T →∞ или Ω→∞) (рис. 5.1). Данный прямоугольник разбивается на элементарные ячейки, площадь которых ΔtΔω, в соответствии с соотношением неопределенности, не может быть меньше 1/ 2. В соответствии с теоремой Котельникова и из соображения удобства, принято разбивать область существования сигнала на ячейки единичной площади: ΔtΔω = 1 (ячейки Габора). По определению, информационная емкость, или число информационных степеней свободы сигнала N равно числу элементарных ячеек в его области существования плюс единица:

Для пространственного оптического сигнала – область существования представляет собой шестимерный параллелепипед, но принцип разбиения на элементарные ячейки и подсчета информационной емкости такой же, как и для чисто временного сигнала: площадь ячейки равна Δx⋅Δy⋅Δξ⋅Δη⋅Δt⋅Δω=1, и число степеней свободы:

, или, с учетом поляризации, .

.